Нахождение знакопостоянства функции – . .

Понятие функции. Основные свойства функций. Область определения и значения. Четность и нечетность. Периодичность, нули функции, промежутки знакопостоянства, монотонность (возрастание, убывание), экстремумы (максимумы, минимумы), асимптоты

Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru:  главная страница  / / Техническая информация / / Математический справочник / / Математика для самых маленьких. Шпаргалки. Детский сад, Школа.  / / Понятие функции. Основные свойства функций. Область определения и значения. Четность и нечетность. Периодичность, нули функции, промежутки знакопостоянства, монотонность (возрастание, убывание), экстремумы (максимумы, минимумы), асимптоты


Основные свойства функций. Понятие функции. Область определения и значения. Четность

и нечетность. Периодичность, нули функции, промежутки знакопостоянства, монотонность

(возрастание, убывание), экстремумы (максимумы, минимумы), асимптоты. Алгоритм описания функции.






Понятие функции. Область определения и значения

  • Числовая функция y=f(x) это соответствие, которое каждому числу x (аргумент функции) из некоторого заданного множества сопоставляет единственное число y (значение функции)

  • Область определения функции D это множество значений х
  • Область значений функции E это множество значений y
  • График функции это множество точек координатной плоскости (x,y), таких, что y=f(x)

Понятие функции. Четность и нечетность

  • Функция f(x) четная, если область определения функции симметрична относительно нуля и для любого x из области определения  f(-x)=f(x)
  • График четной функции симметричен относительно оси y

  • Функция f(x) нечетная, если область определения функции симметрична относительно нуля и для любого x из области определения  f(-x)=-f(x)
  • График нечетной функции симметричен относительно начала координат
Функция f(x) нечетная, ес

dpva.ru

Промежутки знакопостоянства функции. — КиберПедия

Аналитический способ.

Аналитический способ — это наиболее часто встречающийся способ задания функции.

Заключается он в том, что функция задается формулой, устанавливающей, какие операции нужно произвести над х, чтобы найти у.

Графический способ.

При графическом способе вводится прямоугольная система координат и в этой системе координат изображается множество точек с координатами (x,y). При этом .

Словесный способ.

Функция задается с помощью словесной формулировки. Классический пример – функция Дирихле.

«Функция равна 1, если х – рациональное число; функция равна 0, если х – иррациональное число».

Табличный способ.

Табличный способ наиболее удобен, когда множество Х конечно. При этом способе составляется таблица, в которой каждому элементу из множества Х, ставится в соответствие число Y.

Типы ф-й

Сложная

Сложная функция — это функция от функции

Неявная

Неявные функции — это функции, заданные уравнением, не разрешенным относительно зависимой переменной.

Обратная

Если уравнение y=f(x) может быть однозначно разрешено относительного переменного x (т.е. сущ. Ф-я x=g(y) такая, что y=f[g(y)]), то ф-я x=g(y) – обратная по отношению к y=f(x).

 

Основные свойства функций.

1) Область определения функции и область значений функции.

Область определения функции — это множество всех допустимых действительных значений аргумента x (переменной x), при которых функция y = f(x) определена.

Область значений функции — это множество всех действительных значений y, которые принимает функция.

Нули функции.

Нуль функции – такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю.

Промежутки знакопостоянства функции.

Промежутки знакопостоянства функции – такие множества значений аргумента, на которых значения функции только положительны или только отрицательны.

Монотонность функции.

Возрастающая функция (в некотором промежутке) — функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.

Убывающая функция (в некотором промежутке) — функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

Четность (нечетность) функции.

Четная функция — функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения выполняется равенство f(-x) = f(x). График четной функции симметричен относительно оси ординат.


Нечетная функция — функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения справедливо равенство f(-x) = — f(x). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Ограниченная и неограниченная функции.

Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число M, что |f(x)| ≤ M для всех значений x . Если такого числа не существует, то функция — неограниченная.

Периодическость функции.

Функция f(x) — периодическая, если существует такое отличное от нуля число T, что для любого x из области определения функции имеет место: f(x+T) = f(x). Такое наименьшее число называется периодом функции. Все тригонометрические функции являются периодическими. (Тригонометрические формулы).

Предел ф-ии

Предел ф-ии (предельное значение функции) в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится рассматриваемая функция при стремлении её аргумента к данной точке.

Бесконечно малая (величина) — числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю.

Последовательность an называется бесконечно малой, если

Бесконечно большая (величина) — числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности определённого знака.

Последовательность an называется бесконечно большой, если

Первый замечательный предел

Второй замечательный предел

Непрерывность ф-ии

Ф-яf(x) называется непрерывной при x = E, если

1) Эта ф-я определена в точке E, т.е. существует число f(E)

2) Существует конечный предел limf(x)

3) Этот предел равен значению ф-ии в точкеE, т.е. x -> E.

Точки разрыва

Точка х0 называется точкой разрыва функции f(x), если f(x) не определена в точке х0 или не является непрерывной в этой точке.

Точка х0 называется точкой разрыва 1- го рода, если в этой точке функция f(x) имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы.


Точка х0 называется точкой разрыва 2 – го рода, если в этой точке функция f(x) не имеет хотя бы одного из односторонних пределов или хотя бы один из них бесконечен.

 

 

Производная сложной функции

Рассмотрим сложную функцию y = y(u(x))

Теорема 4. Если функции y = y(u), u = u(x) дифференцируемы (т.е. существуют производные y’u, u’x), тогда сложная функция y = y(u(x)) дифференцируема и y’x = y’u u’x.

Доказательство

Если аргумент x получит приращение Δx, то функция u получит приращение Δu = u(x + Δx) − u(x), а функция y получит приращение Δy = y(u + Δu) − y(u). Но тогда, воспользовавшись свойствами предела функции, получаем

Теорема доказана.

Доказательство

Если аргумент x получит приращение Δx, то функция f получит приращение Δy = f(x + Δx) − f(x). С другой стороны, для обратной функции g приращения Δx, Δy связаны следующим образом:Δx=g(y + Δy) − g(y).

Тогда получаем

Теорема доказана.

Производные высших порядков

Дифференцируемость функции

Функция y=f(x)называется дифференцируемой в некоторой точке x0, если она имеет в этой точке определенную производную, т.е. если предел отношения существует и конечен.

Если функция дифференцируема в каждой точке некоторого отрезка [а; b] или интервала (а; b), то говорят, что онадифференцируема на отрезке [а; b] или соответственно в интервале (а; b).

Справедлива следующая теорема, устанавливающая связь между дифференцируемыми и непрерывными функциями.

Правило Лопиталя

Пусть функции f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки a, за исключением, быть может, самой точки a, и пусть или . Тогда, если существует предел отношения производных этих функций , то существует и предел отношения самих функций f(x)/g(x) при x→а, причем

(1)

 

Таким образом, коротко правило Лопиталя можно сформулировать следующим образом: предел отношения двух бесконечно малых или двух бесконечно больших величин равен пределу отношения их производных.

Замечание. Отметим, что формула (1) справедлива только в том случае, если предел, стоящий справа, существует. Может случиться, что предел, стоящий слева существует, в то время как предел, стоящий в правой части равенства, не существует.

Например, найти . Этот предел существует . Но отношение производных (1+cosx)/1=1+cos x при x→∞ не стремится ни к какому пределу.

Заметим, что если отношение производных опять представляет собой неопределенность вида 0/0 или ∞/∞, то можно снова применить сформулированную теорему, то есть перейти к отношению вторых производных и так далее.

Вспомним, что к этим двум случаям сводятся случаи других неопределенностей: ∞·∞; 0·∞.

Для раскрытия неопределенностей 1∞, 10, ∞0 нужно прологарифмировать данную функцию и найти предел ее логарифма.

Монотонность ф-ии

Возрастающая функция (в некотором промежутке) — функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.

Убывающая функция (в некотором промежутке) — функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

Экстремумы

Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках — ее экстремумами.

Первое достаточное условие.

Пусть xо — критическая точка. Если f ‘ (x) при переходе через точку xо меняет знак плюс на минус, то в точке xо функция имеет максимум, в противном случае — минимум. Если при переходе через критическую точку производная не меняет знак, то в точке xо экстремума нет.

Второе достаточное условие. Пусть функция f(x) имеет производную

f ‘ (x) в окрестности точки xо и вторую производную f»(xo) в самой точке xо. Если f ‘(xо) = 0, f»(xo)>0 (f»(xo)<0), то точка xо является точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же f»(xo)=0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные.

На отрезке [a,b] функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка [a,b].

 

Точки перегиба

 

Точка графика непрерывной функции, отделяющая его выпуклую часть отвогнутой, называется точкой перегиба.

Очевидно, что в точке перегиба касательная, если она существует, пересекает кривую, т.к. с одной стороны от этой точки кривая лежит под касательной, а с другой стороны – над нею.

Определим достаточные условия того, что данная точка кривой является точкой перегиба.

Теорема. Пусть кривая определяется уравнением y = f(x). Если f »(x0) = 0 или f »(x0) не существует и при переходе через значениеx = x0 производная f »(x) меняет знак, то точка графика функции с абсциссой x = x0 есть точка перегиба.

Доказательство. Пусть f »(x) < 0 при x < x0 и f »(x) > 0 при x > x0. Тогда при x < x0 кривая выпукла, а при x > x0 – вогнута. Следовательно, точка A, лежащая на кривой, с абсциссой x0 есть точка перегиба. Аналогично можно рассматривать второй случай, когда f »(x) > 0 при x < x0 и f »(x) < 0 при x > x0.

Таким образом, точки перегиба следует искать только среди таких точек, где вторая производная обращается в нуль или не существует.

Асимптоты графика функции

 

Прямая называется асимптотой графика функции y = f(x), если расстояние от переменной точки M графика до этой прямой при удалении точки M в бесконечность стремится к нулю, т.е. точка графика функции при своем стремлении в бесконечность должна неограниченно приближаться к асимптоте.

Кривая может приближаться к своей асимптоте, оставаясь с одной стороны от нее или с разных сторон, бесконечное множество раз пересекая асимптоту и переходя с одной ее стороны на другую.

Формула Тейлора

 

Формула Тейлора показывает поведение функции в окрестности некоторой точки. Формула Тейлора функции часто используется при доказательстве теорем в дифференциальном исчислении.

ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА

 

, где Rn(x) — остаточный член формулы Тейлора.

 

Аналитический способ.

Аналитический способ — это наиболее часто встречающийся способ задания функции.

Заключается он в том, что функция задается формулой, устанавливающей, какие операции нужно произвести над х, чтобы найти у.

Графический способ.

При графическом способе вводится прямоугольная система координат и в этой системе координат изображается множество точек с координатами (x,y). При этом .

Словесный способ.

Функция задается с помощью словесной формулировки. Классический пример – функция Дирихле.

«Функция равна 1, если х – рациональное число; функция равна 0, если х – иррациональное число».

Табличный способ.

Табличный способ наиболее удобен, когда множество Х конечно. При этом способе составляется таблица, в которой каждому элементу из множества Х, ставится в соответствие число Y.

Типы ф-й

Сложная

Сложная функция — это функция от функции

Неявная

Неявные функции — это функции, заданные уравнением, не разрешенным относительно зависимой переменной.

Обратная

Если уравнение y=f(x) может быть однозначно разрешено относительного переменного x (т.е. сущ. Ф-я x=g(y) такая, что y=f[g(y)]), то ф-я x=g(y) – обратная по отношению к y=f(x).

 

Основные свойства функций.

1) Область определения функции и область значений функции.

Область определения функции — это множество всех допустимых действительных значений аргумента x (переменной x), при которых функция y = f(x) определена.

Область значений функции — это множество всех действительных значений y, которые принимает функция.

Нули функции.

Нуль функции – такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю.

Промежутки знакопостоянства функции.

Промежутки знакопостоянства функции – такие множества значений аргумента, на которых значения функции только положительны или только отрицательны.

Монотонность функции.

Возрастающая функция (в некотором промежутке) — функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.

Убывающая функция (в некотором промежутке) — функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

cyberpedia.su

Промежутки знакопостоянства функции. Нули функции

Числовые промежутки, на которых функция сохраняет свой знак (т.е. или ) называются промежутками знакопостоянства.

Значения аргумента при которых , называются нулями функции. Нули функции – это точки пересечения графика функции с осью Ох.

 

Пример 1.Найти область определения функции

Решение.

: (1)

Найдем соответствующее множество точек.

Неравенство равносильно неравенству

. Решая его, получаем (рис.1)

.

Условие

Рис.1

означает, что

, т.е. .

Приходим к заключению, что

. Получаем .

Таким образом система (1) равносильна системе

Значит .

Пример 2.Найти множество значений функции

Решение.

Найдем область определения функции.

: ;

;

.

Последнее условие выполняется только для . Вычисляем значение функции в этой точке: .

Значит .

 

Пример 3.Исследовать функцию на четность:

1) 2) 3)

Решение.

1. Замечаем, что для функция имеет . Значит, функция определена на симметричном множестве.

Рассмотрим ее значение для :

Поскольку выполняются оба условия четной функции, заключаем, что функция – четная.

2. Функция имеет .

Так как не является симметричным множеством, второе условие проверять нет необходимости. Эта функция не обладает свойством четности.

3. Очевидно, что функция имеет , т.е. определена на симметричном множестве и для нее

.

Оба условия нечетной функции выполняются, а потому данная функция является нечетной.

Пример 4.Пусть где . Причем, функция имеет период 2. Построить ее график.

Решение.

Построим график данной функции на (рис. 2).

Рис. 2

Исходя из определения периодической функции должно выполняться условие: , где .

Строим ее график, продолжая по периоду (рис. 3).

Рис. 3

Пример 5.Используя определение монотонной функции, найти значения а, при которых функция где монотонно возрастает.

Решение.Пусть . Функция монотонно возрастает, если выполняется или . Это означает, что

Поскольку , последнее неравенство выполняется, если , т.е .

Таким образом, функция возрастает для .

 

Пример 6.Дана функция

Определить промежутки знакопостоянства функции, нули функции. Построить график данной функции.

Решение. Так как на каждом из данных промежутков аналитические выражения, задающие функцию, определены в каждой точке, следовательно .

1. Исследуем функцию при . На данном промежутке функция принимает значение равное 1, т.е. она знакоположительна и нулей функции нет.

2. Пусть .

При таком условии функция задается формулой и . Функция знакоположительна. Здесь она имеет нуль .

3. Пусть .

Очевидно, что при этом условии , т.к. . Нулей функции на этом промежутке нет.

Построим график:

Если , строим часть прямой линии ;

Если – часть параболы ;

Если – часть прямой

Получили график заданной функции (рис.4).

 

 
 

 

 

Рис. 4

Таким образом, функция знакоположительна ; имеет нуль .

 

Задания

 

I уровень

 

1.1. Найдите область определения функции:

1) 2)

1.2. Исследуйте функцию на свойство четности:

1) 2)

1.3. Найдите множество значений функции

1.4. Для функции определите промежутки монотонности, нули, промежутки знакопостоянства. Постройте график функции.

 

II уровень

 

2.1. Найдите ОДЗ функции:

1) 2)

2.2. Найдите множество значений функции:

1) 2)

2.3. Задайте функцию аналитически:

1) линейную, если

2) квадратичную, если

2.4. Исследуйте функцию на четность:

1) 2)

2.5. Докажите, что функция:

1) убывает на

2) возрастает на

2.6. Исследуйте функцию на монотонность.

2.7. Пусть

Известно, что имеет период Т = 4. Постройте график функции.

 

III уровень

 

3.1. Исследуйте функцию на четность. Найдите ее нули:

1) 2)

3.2. Найдите нули функции, промежутки знакопостоянства, промежутки монотонности:

Постройте график.

3.3. Дана функция Найдите промежуток на котором она убывает.

3.4. Определите, при каком а функция является периодической.

3.5. Найдите если:

1) 2)

3.6. Определите, при каком значении аргумента значение функции равно –1.

3.7. Определите при каких значениях х график функции расположен выше графика функции

 

Похожие статьи:

poznayka.org

Свойства функции

В этой статье мы коротко суммируем сведения, которые касаются такого важного математического понятия, как функция. Мы поговорим о том, что такое  числовая функция и какие свойства функции необходимо знать и уметь исследовать.

Что такое  числовая функция? Пусть у нас есть два числовых множества: Х и Y, и  между этими множествами есть определенная зависимость. То есть каждому элементу х из множества Х по определенному правилу ставится в соответствие  единственный элемент  y из множества Y.

Важно, что каждому элементу х из множества Х соответствует один и только один элемент y из множества Y.

Правило, с помощью которого каждому элементу из множества Х мы ставим в соответствие единственный элемент из множества Y, называется числовой функцией. 

Множество Х называется областью определения функции.

Множество Y называется множеством значений значений функции.

Равенство   называется уравнением функции. В этом уравнении    — независимая переменная, или аргумент функции.   — зависимая переменная.

Если мы возьмем все пары и поставим им в соответствие соответствующие точки координатной плоскости, то  получим график функции. График функции — это графической изображение зависимости между множествами Х и Y.

Свойства функции мы можем определить, глядя на график функции, и, наоборот, исследуя свойства функции мы можем построить ее график.

Основные свойства функций. 

1. Область определения функции.

Область определения функции D(y)-это множество всех допустимых значений аргумента x ( независимой переменной x), при которых выражение, стоящее в правой части уравнения функции   имеет смысл. Другими словами, это область допустимых значений выражения .

Чтобы по графику функции найти ее область определения, нужно, двигаясь слева направо вдоль оси ОХ, записать все промежутки значений х, на которых существует график функции.

2. Множество значений функции.

Множество значений функции  Е(y)— это множество всех значений, которые может принимать  зависимая переменная y.

Чтобы по графику функции  найти ее множество значений, нужно, двигаясь снизу вверх вдоль оси OY, записать все промежутки значений y, на которых существует график функции.

3.  Нули функции.

Нули функции — это те значения аргумента х, при которых значение функции (y) равно нулю.

Чтобы найти нули функции , нужно решить уравнение  . Корни этого уравнения и будут нулями функции .

Чтобы найти нули функции по ее графику, нужно найти точки пересечения графика с осью ОХ. Абсциссы точек пересечения и будут нулями функции  .

4. Промежутки знакопостоянства функции. 

Промежутки знакопостоянства функции — это такие промежутки значений аргумента, на которых функция сохраняет свой знак, то есть  или .

Чтобы найти промежутки знакопостоянства функции , нужно решить неравенства и  .

Чтобы найти  промежутки знакопостоянства функции  по ее графику, нужно

  • найти промежутки значений аргумента х, при которых график функции расположен выше оси ОХ — при этих значениях аргумента , 
  • найти промежутки значений аргумента х, при которых график функции расположен ниже оси ОХ — при этих значениях аргумента  .

5. Промежутки монотонности функции.

Промежутки монотонности функции — это такие промежутки значений  аргумента х, при которых функция возрастает или убывает.

Говорят, что функция   возрастает на промежутке I, если для любых двух значений аргумента  , принадлежащих промежутку I таких, что   выполняется соотношение:.

Другими словами, функция   возрастает на промежутке I, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.

Чтобы по графику функции определить промежутки возрастания функции, нужно, двигаясь  слева направо по линии графика функции, выделить промежутки значений аргумента х, на которых график идет вверх.

Говорят, что функция   убывает на промежутке I, если для любых двух значений аргумента  , принадлежащих промежутку I таких, что   выполняется соотношение: .

Другими словами, функция   убывает на промежутке I, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции. 

Чтобы по графику функции определить промежутки убывания функции, нужно, двигаясь  слева направо вдоль линии графика функции, выделить промежутки значений аргумента х, на которых график идет вниз.

6. Точки максимума и минимума функции.

Точка называется точкой максимума функции , если существует такая окрестность I точки , что для любой точки х из этой окрестности выполняется соотношение:

.

Графически это означает что точка с абсциссой  x_0 лежит выше других точек из окрестности I графика функции y=f(x).

Точка называется точкой минимума  функции , если существует такая окрестность I точки , что для любой точки х из этой окрестности выполняется соотношение:

Графически это означает что точка с абсциссой  лежит ниже других точек  из окрестности I графика функции .

Обычно мы находим точки максимума и минимума функции, проводя исследование функции с помощью производной.

 7. Четность (нечетность) функции.

Функция  называется четной, если выполняются два условия:

а) Для любого значения аргумента , принадлежащего области определения функции,   также принадлежит области определения функции.

Другими словами, область определения  четной функции симметрична относительно начала координат.

б)  Для любого значения аргумента х, принадлежащего области определения функции, выполняется соотношение .

Функция называется нечетной, если выполняются два условия:

а) Для любого значения аргумента , принадлежащего области определения функции, также принадлежит области определения функции.

Другими словами, область определения нечетной функции симметрична относительно начала координат.

б)  Для любого значения аргумента х, принадлежащего области определения функции, выполняется соотношение .

Все функции делятся на четные, нечетные, и те, которые не являются четными и не являются нечетными. Они называются функциями общего вида.

Чтобы определить четность функции, нужно:

а). Найти область определения функции , и определить, является ли она симметричным множеством.

Если, например,  число х=2 входит в область определения функции, а число х=-2 не входит, то D(y) не является симметричным множеством, и функция — функция общего вида.

Если область определения  функции — симметричное множество, то проверяем п. б)

б). В уравнение функции  нужно вместо х подставить -х, упростить полученное выражение, и постараться привести его к виду  или .

Если , то функция четная.

Если , то функция нечетная.

Если не удалось привести ни к тому ни к другому, то наша функция — общего вида.

График четной функции симметричен относительно оси ординат ( прямой OY ).

График нечетной функции симметричен относительно начала координат ( точки (0,0) ).

8. Периодичность функции.

Функция называется периодической, если существует такое положительное число Т, что

  • для любого значения х из области определения функции, х+Т также принадлежит D(x)

В программе средней школы из числа периодических функций изучают только тригонометрические функции.

Предлагаю вам посмотреть  ВИДЕОУРОК, в котором  я рассказываю, как определить свойства функции, график которой изображен на рисунке:

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

ege-ok.ru

Свойства функций

На
прошлом уроке мы с вами изучили понятие функция. Изучили её график и научились
находить область определения и область значений функции.

Свойства
функций
:

·       
нули
функции;

·       
промежутки
знакопостоянства функции;

·       
промежутки
монотонности функции.

Нули
функции

Определение:

Нулями
функции
называют такие значения аргумента, при которых
функция равна нулю.

В
данном случае функция задана графически и мы
определили нули функции по графику. Так же нули функции можно находить по
формуле, с помощью которой задана функция.

Решив
уравнение, мы найдём те значения х, при которых функция равна нулю.

Стоит
обратить внимание на то, что не каждая функция имеет нули.

График
не пересекает ось икс ни в одной точке.

Промежутки
знакопостоянства функции

Определение:

Промежутки
знакопостоянства функции

— это такие промежутки из области определения, на которых данная функция
принимает значения только одного знака, либо положительные, либо отрицательные.

Функция
принимает положительные значения:

И
отрицательные значения:

Запишите
промежутки знакопостоянства функции:

Положительные
и отрицательные значения функции:

Промежутки
монотонности функции

Определение:

Функция
называется возрастающей в некотором промежутке, если большему значению
аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.

Определение:

Функция
называется убывающей в некотором промежутке, если большему значению
аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

Определение:

Промежутками
монотонности
называют такие промежутки из области
определения, на которых функция либо возрастает, либо убывает.

Опишем
свойства функции:

Графиком
является прямая, поэтому для построения достаточно
двух точек:

Найдём
значения функции:

Областью
определения и областью значений будет множество всех действительных чисел. Ведь
х и у могут быть любыми числами.

Найдём
нули функции:

Запишем
промежутки знакопостоянства:

Запишем
промежутки монотонности:

videouroki.net

Промежутки знакопостоянства и корни функции. Точки минимума и точки максимума функции. Экстремум функции


Промежутки знакопостоянства и корни функции

Числовые промежутки, на которых функция сохраняет свой знак (т. е. остается положительной или отрицательной), называются промежутками знакопостоянства функции. Например, для функции у=х, у>0 при х>0 и укорнями, (или нулями) функции. Ясно, что значения аргумента, при которых функция обращается в нуль,— это абсциссы точек пересечения графика функции с осью Ох. Например, для функции у=х+2 нулем функции является х=—2; для функции у = х² — 5х + 6 нулями функции ЯВЛЯЮТСЯ x1 = 2, x2 = 3.

Точки минимума и точки максимума функции. Экстремум функции

Точка х0 из области определения функции у = f(x) называется точкой минимума этой функции, если найдется такая δ -окрестность точки х0 хє(х0-δ, х0+δ), что для всех х≠x0 из этой окрестности выполняется неравенство f(x0). Записывается это так:

Точка x0 из области определения функции у = f(x) называется точкой максимума этой функции, если найдется такая δ-окрестность точки х0 хє(х0-δ, х0+δ), что для всех х≠х0 из этой окрестности выполняется неравенство f(x0)>f. Записывается это так:

Точки минимума и точки максимума называются точками экстремума данной функции, а значение функции в этих точках называется экстремумом функции (соответственно минимумом и максимумом).


math-helper.ru

Найдите промежутки знакопостоянства функции… — Двоечка.com

Числовые промежутки, на которых функция сохраняет свой знак (т.е. остается положительной или отрицательной), называются промежутками знакопостоянства функции.

dvoechka.com

Оставить комментарий

avatar
  Подписаться  
Уведомление о