Степень с натуральными показателями – Степень с натуральным показателем и её свойства

Степень с натуральным показателем и её свойства

Степень с натуральным показателем и ее свойства.

Степенью числа a с натуральным показателем n, большим 1, называется произведение n множителей, каждый из которых равен a:

an

В выражении an :

-  число а (повторяющийся множитель) называют основанием степени

-  число n (показывающее сколько раз повторяется множитель) – показателем степени

Например: 25 = 2·2·2·2·2 = 32, здесь: 2   – основание степени, 5   – показатель степени, 32 – значение степени

Отметим, что основание степени может быть любым числом.

Вычисление значения степени называют действием возведения в степень. Это действие третьей ступени. То есть при вычислении значения выражения, не содержащего скобки, сначала выполняют действие третьей ступени, затем второй (умножение и деление) и, наконец, первой (сложение и вычитание).

Для записи больших чисел часто применяются степени числа 10. Так, расстояние от земли до солнца примерно равное 150 млн. км, записывают в виде 1,5 · 108

Каждое число большее 10 можно записать в виде: а · 10n , где 1

Например:  4578 = 4,578 · 103 ;

103000 = 1,03 · 105.

Свойства степени с натуральным показателем:

1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели степеней складываются

am · an = am + n

например:  71.7 · 7 - 0.9 = 71.7+( - 0.9) = 71.7 - 0.9 =  70.8

2. При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели степеней вычитаются

am / an = am — n ,

где,  m > n,

a ? 0

например: 133.8 / 13 -0.2 = 13(3.8 -0.2) = 133.6

3. При возведении степени в степень основание остается прежним, а показатели степеней перемножаются.

(am )n = a m ·  n

    например: (23)2 = 2 3·2 = 26

    4. При возведении в степень произведения в эту степень возводится каждый множитель

      (a · b)n = an · b m ,

      например:(2·3)3 = 2n · 3 m ,

      5. При возведении в степень дроби в эту степень возводятся числитель и знаменатель

      (a / b)n = an / bn

      например: (2 / 5)3 = (2 / 5) · (2 / 5) · (2 / 5) = 23 / 53

      mirurokov.ru

      определения, обозначение, примеры, степень с отрицательным показателем

      В рамках этого материала мы разберем, что такое степень числа. Помимо основных определений мы сформулируем, что такое степени с натуральными, целыми, рациональными и иррациональными показателями. Как всегда, все понятия будут проиллюстрированы примерами задач.

      Степени с натуральными показателями: понятие квадрата и куба числа

      Сначала сформулируем базовое определение степени с натуральным показателем. Для этого нам понадобится вспомнить основные правила умножения. Заранее уточним, что в качестве основания будем пока брать действительное число (обозначим его буквой a), а в качестве показателя – натуральное (обозначим буквой n).

      Определение 1

      Степень числа a с натуральным показателем n – это произведение n-ного числа множителей, каждый из которых равен числу а. Записывается степень так: an, а в виде формулы ее состав можно представить следующим образом: Степени с натуральными показателями: понятие квадрата и куба числа

      Например, если показатель степени равен 1, а основание – a, то первая степень числа a записывается как a1. Учитывая, что a – это значение множителя, а 1 – число множителей, мы можем сделать вывод, что a1=a.

      В целом можно сказать, что степень – это удобная форма записи большого количества равных множителей. Так, запись вида

      8·8·8·8 можно сократить до 84. Примерно так же произведение помогает нам избежать записи большого числа слагаемых (8+8+8+8=8·4); мы это уже разбирали в статье, посвященной умножению натуральных чисел.

      Как же верно прочесть запись степени? Общепринятый вариант – «a в степени n».  Или можно сказать «n-ная степень a» либо «an-ной степени». Если, скажем, в примере встретилась запись 812, мы можем прочесть «8 в 12-й степени», «8 в степени 12» или «12-я степень 8-ми».

      Вторая и третья степени числа имеют свои устоявшиеся названия: квадрат и куб. Если мы видим вторую с

      zaochnik.com

      Что такое степень с натуральным показателем (В.А. Тарасов)

      Тема: Степень с натуральным показателем и ее свойства

      Урок: Что такое степень с натуральным показателем

      Откуда появилась степень.

      Выражение а+а+а в математике можно заменить на а+а+а=3а.

      Выражение а+а+а+а+а можно представить в виде

      а+а+а+а+а=5а.

      То есть, если в выражении n одинаковых слагаемых, каждое из которых а, то его можно кратко записать na.  

      А умножение , можно кратко записать так: а3, читается: а в кубе или третья степень числа а.

       – а в пятой степени или пятая степень числа а.

      А если в выражение n одинаковых сомножителей, каждый из которых а, то мы будем писать:

       = ann-ная степень числа а.

      Определение. Степенью aназывается произведение n одинаковых сомножителей,

       , где n- натуральное число n={2,3,…..}; а – любое число.

      Терминология: an

       а – основание степени,

      n – показатель степени,

      an– степень, или а в n-ой степени, или n-ая степень числа а.

      Пример 1: Записать произведение в виде степени, назвать основание и показатель степени, вычислить, если возможно.

      1. – это по определению 4 в кубе или третья степень числа 4, 4- основание степени, 3- показатель степени. Результат:

       

      Ответ: 64

      2.

      – по определению, это x в четвертой степени, x – основание степени, 4 – показатель степени. Дальше вычислять нельзя, потому что x нужно присвоить конкретное значение.

      Ответ

      3.  

      Это в пятой степени,  – это основание степени, 5 – показатель степени, он показывает сколько раз основание умножается на себя. Замечание: от переменных мест сомножителей произведение не меняется, запишем это выражение по-другому:

       

      Значит, выражение

      .

      Ответ: .

      4. – это в кубе, 3 – это показатель степени, – основание степени.

      Ответ

      5.  

       – вторая степень числа 13 ,  – вторая степень числа 5.

      Ответ: 4225

      6.

       – третья степень числа 2,  – вторая степень числа 3.

      Ответ: 72

      В степени an может отдельно меняться показатель степени или основание степени.

      Пример 2: Вычислить , если

      a) n=2

      b) n=3

      c) n=4

      Решение:

      a)

       так как стоит четная степень, минус пропадает.

      b)

      c) – так как стоит четная степень, минус пропадает.

      Ответ: a) 25; b)-125; c)625;

      В этом примере менялся показатель степени, а основание не менялось. Рассмотрим пример, когда меняется основание.

      Пример 3: Вычислить: b4, где

      a) b=1

      b) b=-3

      c) b=

      d) b=

      Ответ:

      a)

      b)

      c)

      Вспомним, что натуральные числа - это 1,2,3 и так далее.

      n={1,2,3,…..}

      По нашему определению:

      an = ,                                (1)

      n={2,3,…..}

      Нужно еще одно определение для случая n=1. Что же такое а1?

      a1=a                                                   (2)

      Пример.

      ()1=)

      (-2)1=-2

      31=3.

      Итак, теперь мы знаем, что такое an, ,где n={1,2,3,…..} – любое натуральное число.

      Рассмотрим геометрические задачи, в которых участвуют степени.

      Задача: вычислить площадь квадрата, сторона которого равна а, где

      a) а=3 см

      b) а=7 см

      c) а=1,5 см

      Замечание. Если у нас есть квадрат со стороной а, то его площадь равна а2 или вторая степень числа а.

      S=a2

      Ответ:

      S=32=9 см2

      S=72=49 см2

      S=1,52=2,25 см2

      Итак, геометрическая задача потребовала от нас знание степени.

      И в заключение, несколько примеров на вычисление. Задач много, но ключ к решению – первое и второе определение.

      Вычислить:

      a)   

      Как видим, вычисления могут быть разные, но ключ к решению одинаковый.

      b) Вычислить при а=1 следующее выражение:

      а2=12=1

      а3=13=1

      При а=-1 будет чуть посложнее:

      а2=(-1)2=1

      а3=(-13)=-1

      а4=(-1)4=1

      и т.д. -1 будет мерцать то 1, то -1 в зависимости от того четный или нечетный показатель.

      Итак, наша задача была рассмотреть, что такое степень с натуральным показателем. Мы рассмотрели 2 основных определения (1) и (2), выучили терминологию аn, где n – это показатель степени, а – основание степени, n – натуральное число, а – любое число. Затем мы выполнили ряд задач. Далее мы будем изучать свойства степени с натуральным показателем.

       

      Список рекомендованной литературы

      1. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г.

      2. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ

      3. Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7 .М.: Просвещение. 2006 г.

       

      Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

      1. Школьная математика (Источник).

      2. Школьный помощник (Источник).

       

      Рекомендованное домашнее задание

      1. Записать произведение в виде степени, назвать основание и показатель степени, вычислить, если возможно.

      а)  

      б) 

      в)

      2. Вычислить (-2)n, если

      а) n=2 б) n=3 в) n=4

      3. Вычислить: а5, где

      а) а=1

      б) а=-2

      в) а=

      4. Вычислить площадь квадрата, сторона которого равна а/2, где

      а) а=6 см

      б) а=8 дм

      в) а=3 м

      interneturok.ru

      Степень с натуральным показателем

      Математика – точная наука, и математический язык приветствует употребление более кратких записей.

      СтепеньВместо записи 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5, математик использует запись 5 · 6, потому что у нас шесть одинаковых слагаемых.

      А запись 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 математик заменит записью 56, потому что шесть одинаковых множителей.  Конечно, при необходимости можно использовать обратные записи.

      Мы знаем, что 76 есть произведение шести множителей, каждый из которых равен 7:

      76 = 7 · 7 · 7 · 7 · 7.

      Число 7 – основание степени, число 6 – показатель степени, выражение 76 – степень.

      Дадим определение степени для любого основания и любого натурального показателя.

      Степенью числа а с натуральным показателем n большим 1, называется произведение n множителей, каждый из которых равен а.

      Для степени числа а с показателем n принято обозначение: аn.

      По определению  аn = а · а · а · а… а. (n раз)

      В определение не включён случай, когда показатель n = 1, так как не имеет смысла говорить о произведении, состоящем из одного множителя. Степень с показателем 1 определяется особо.

      Степенью числа а с показателем 1 называется само число а: а1 = а.

      Вычисление значения степени называют действием возведения в степень. Это действие выполняется первым при вычислении значения выражения.

      Рассмотрим примеры вычислений значений выражений, содержащих степени.

      Пример 1. Найдём значение степеней  (-4)(-4)3.

      (-4)4 = (-4) · (-4) · (-4) · (-4) = 256

      (-4)3 = (-4) · (-4) · (-4) = -64

      Обратим внимание, при возведении в степень отрицательного числа, положительное число получается, если число возводится в чётную степень, если же отрицательное число возводится в нечётную степень, то получается отрицательное число.

      СтепеньПример 2. Вычислим (3/4)3.

      (3/4)3 = 3/4 · 3/4 · 3/4 = 27/64.

      Пример 3. Найдем значение выражения  6 · 33.

      Чтобы найти значение этого выражения, достаточно сначала найти значение степени 33, а затем выполнить умножение:

      1) 33 = 3 · 3 · 3 = 27

      2) 6 · 27 = 162.

      Значение степени можно найти с помощью вычислительной техники, а можно воспользоваться таблицей степеней.

      Пример 4. Рассмотрим ещё один пример. Найдём значение выражения 0,5 · 482.

      0,5 · 482 = 0,5 · 2304 = 1152

      © blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

      blog.tutoronline.ru

      Степень с натуральным показателем и её свойства. Видеоурок. Алгебра 7 Класс

      Вспомним основные определения:

      – степень с натуральным показателем, здесь а – основание степени, n – показатель степени.                    

      Кроме того, напомним, что:

       и ;

      Символ , как и символ  не имеет смысла.

      Все одночлены, многочлены и основные операции с ними основаны на степенях и действиях со степенями, которые мы сейчас вспомним:

      Основные теоремы о действиях со степенями:

      ;

      Для того чтобы умножить степени с одинаковым основанием, нужно сложить их показатели, основание оставить тем же самым.

      ;

      Можно разделить степени с одинаковым основанием, для этого их показатели нужно вычесть, а основание оставить тем же самым;

      Пример 1:

      ;

      Для того чтобы степень возвести в степень, нужно перемножить показатели степени, основание оставить без изменений.

      Мы вспомнили основные правила работы со степенями с одинаковым основанием. В качестве примеров выведем еще несколько правил:

       

      Пример 2:  – возвести минус единицу в четную степень;  – возвести минус единицу в нечетную степень;

       – при возведении в квадрат любое число станет положительным, единица в любой степени равна единице, таким образом, независимо от значения  выражение  равно единице.

      В предыдущем примере мы показали, что выражение  всегда равно единице. Получаем:

      Минус единица в первой степени равна сама себе, получаем:

      Рассмотрим теперь правила обращения со степенями с одинаковым показателем:

      ;

      При умножении степеней с одинаковыми показателями, нужно перемножить основания и возвести результат в исходную степень;

      , ;

      Чтобы разделить степени с одинаковыми показателями, нужно разделить основания и возвести результат в исходную степень;

      Пример 3:

      Итак, в числителе и знаменателе перемножим степени с одинаковым основанием:

      Возведем в числителе и знаменателе степень в степень:

      Выполним деление степеней с одинаковым основанием:

      Чтобы получить результат, выполним некоторые преобразования:

      Пример 4: вычислить:

      Чтобы решить данный пример, все основания степеней нужно привести к самому простому:

      , ,

      Итак, получаем:

      Выполним возведение степени в степень:

      Выполним сокращение дроби:

      Вычислим:

      Пример 5: запишите в виде степени с показателем 2:

      Для того чтобы получить ответ, мы исходные показатели степеней разделили на 2.

      Пример 6: заменить звездочку таким выражением, чтобы получилось верное равенство:

      Получаем выражение:

       – равенство верно

      Пример 7: решить уравнение:

      Будем постепенно выполнять действия со степенями в левой части:

      Таким образом, наше уравнение приобретает вид:

      Решение очевидно.

      Вывод: на данном уроке мы вспомнили основные определения касательно степени с натуральным показателем и ее основные свойства. Записали теоремы и решили примеры на их применение.

       

      Список литературы

      1. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. – 6 изд. – М.: Просвещение, 2010.

      2. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ.

      3. Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7. – М.: Просвещение, 2006.

       

      Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

      1. Школьный помощник (Источник).
      2. Интернет-портал Math.sch2582.edusite.ru (Источник).

       

      Домашнее задание

      1. Задание 1: Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7, №170, ст. 77;
      2. Задание 2: Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7, №173, ст. 78;
      3. Задание 3: Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7, №201, ст. 79.

      interneturok.ru

      1.1.2 Степень с натуральным показателем

      Видеоурок 1: Свойства степени с натуральным показателем

      Видеоурок 2: Степень с натуральным показателем и ее свойства

      Лекция: Степень с натуральным показателем

      Степень с натуральным показателем

      Под степенью некоторого числа "а" с некоторым показателем "n" понимают произведение числа "а" само на себя "n" раз.

       

      Когда говорят о степени с натуральным показателем, это означает, что число "n" должно быть целым и не отрицательным.

      а - основание степени, которое показывает, какое число следует умножать само на себя, 

      n - показатель степени - он говорит, сколько раз основание нужно умножить само на себя.

      Например:

      84 = 8 * 8 * 8 * 8 = 4096.

      В данном случае под основанием степени понимают число "8", показателем степени считается число "4", под значением степени понимается число "4096". 

      Самой большой и распространенной ошибкой при подсчете степени является умножение показателя на основание - ЭТО НЕ ВЕРНО!

      Когда речь идет о степени с натуральным показателем, имеется в виду, что только показатель степени (n) должен быть натуральным числом. 

      В качестве основания можно брать любые числа с числовой прямой.

      Например,

      (-0,1)3 = (-0,1) * (-0,1) * (-0,1) = (-0,001).

      Математическое действие, которое совершается над основанием и показателем степени, называется возведение в степень. 

      Сложение \ вычитание - математические действия первой ступени, умножение \ деление - действие второй ступени, возведение степени - это математическое действие третьей ступени, то есть одной из высших. 

      Данная иерархия математических действий определяет порядок при расчете. Если данное действие встречается в задачах среди двух предыдущих, то оно делается в первую очередь.

      Например:

      15 + 6 *2 = 39

      В данном примере необходимо сначала возвести 2 в степень, то есть

      22 = 4,

      затем полученный результат умножить на 6, то есть

      4 * 6 = 24,

      затем

      24 + 15 = 39.

      Степень с натуральным показателем используется не только для конкретных вычислений, но и для удобства записи больших чисел. В данном случае еще используется понятие "стандартный вид числа". Данная запись подразумевает умножение некоторого числа от 1 до 9 на основание степени равное 10 с некоторым показателем степени.

      Например, для записи радиуса Земли в стандартном виде используют следующую запись:

      6400000 м = 6,4 * 106 м,

      а масса Земли, например, записывается следующим образом:

      6 * 1024 кг.

      Свойства степени

      Для удобства решений примеров со степенями необходимо знать основные их свойства:

      1. Если Вам необходимо умножить две степени, которые имеют одинаковые основания, то в таком случае основание необходимо оставить без изменения, а показатели сложить.

      an * am = an+m

      Например:

      5* 54 = 56.

      2. Если необходимо разделить две степени, которые имеют одинаковые основания, то в таком случае основание необходимо оставить без изменения, а показатели вычесть. Обратите внимани, для действий со степенями с натуральным показателем показатель степени делимого должен быть больше показателя степени делителя. В противном случае, частным данного действия будет число с отрицательным показателем степени.

      an / am = an-m 

      Например,

      5* 52 = 52.

      3. Если необходимо возвести одну степень в другую, основанием результата останется то же число, а показатели степени перемножаются.

      (an )m = an*m

      Например,

      (5)2 = 58.

      4. Если в некоторую степень необходимо возвести произведение произвольных чисел, то можно воспользоваться неким распределительным законом, при котором получим произведение различных оснований в одной и той же степени.

      (a * b)m = am * bm

      Например,

      (5 * 8 )2 = 52 * 82.

      5. Аналогичное свойство можно применять для деления степеней, иначе говоря, для возведения обыкновенной двоби в степень.

      (a / b)m = am / bm

      6. Любое число, которое возводится в показатель степени, равный единице, равно первоначальному числу.

      а1 = а

      Например,

      51 = 5.

      7. При возведении любого числа в степень с показателем ноль, результатом данного вычисления всегда будет единица.

      а0 = 1

      Например,

      70 = 1.


      cknow.ru

      1.1.2 Степень с натуральным показателем

      Видеоурок 1: Свойства степени с натуральным показателем

      Видеоурок 2: Степень с натуральным показателем и ее свойства

      Лекция: Степень с натуральным показателем

      Степень с натуральным показателем

      Под степенью некоторого числа "а" с некоторым показателем "n" понимают произведение числа "а" само на себя "n" раз.

       

      Когда говорят о степени с натуральным показателем, это означает, что число "n" должно быть целым и не отрицательным.

      а - основание степени, которое показывает, какое число следует умножать само на себя, 

      n - показатель степени - он говорит, сколько раз основание нужно умножить само на себя.

      Например:

      84 = 8 * 8 * 8 * 8 = 4096.

      В данном случае под основанием степени понимают число "8", показателем степени считается число "4", под значением степени понимается число "4096". 

      Самой большой и распространенной ошибкой при подсчете степени является умножение показателя на основание - ЭТО НЕ ВЕРНО!

      Когда речь идет о степени с натуральным показателем, имеется в виду, что только показатель степени (n) должен быть натуральным числом. 

      В качестве основания можно брать любые числа с числовой прямой.

      Например,

      (-0,1)3 = (-0,1) * (-0,1) * (-0,1) = (-0,001).

      Математическое действие, которое совершается над основанием и показателем степени, называется возведение в степень. 

      Сложение \ вычитание - математические действия первой ступени, умножение \ деление - действие второй ступени, возведение степени - это математическое действие третьей ступени, то есть одной из высших. 

      Данная иерархия математических действий определяет порядок при расчете. Если данное действие встречается в задачах среди двух предыдущих, то оно делается в первую очередь.

      Например:

      15 + 6 *2 = 39

      В данном примере необходимо сначала возвести 2 в степень, то есть

      22 = 4,

      затем полученный результат умножить на 6, то есть

      4 * 6 = 24,

      затем

      24 + 15 = 39.

      Степень с натуральным показателем используется не только для конкретных вычислений, но и для удобства записи больших чисел. В данном случае еще используется понятие "стандартный вид числа". Данная запись подразумевает умножение некоторого числа от 1 до 9 на основание степени равное 10 с некоторым показателем степени.

      Например, для записи радиуса Земли в стандартном виде используют следующую запись:

      6400000 м = 6,4 * 106 м,

      а масса Земли, например, записывается следующим образом:

      6 * 1024 кг.

      Свойства степени

      Для удобства решений примеров со степенями необходимо знать основные их свойства:

      1. Если Вам необходимо умножить две степени, которые имеют одинаковые основания, то в таком случае основание необходимо оставить без изменения, а показатели сложить.

      an * am = an+m

      Например:

      5* 54 = 56.

      2. Если необходимо разделить две степени, которые имеют одинаковые основания, то в таком случае основание необходимо оставить без изменения, а показатели вычесть. Обратите внимани, для действий со степенями с натуральным показателем показатель степени делимого должен быть больше показателя степени делителя. В противном случае, частным данного действия будет число с отрицательным показателем степени.

      an / am = an-m 

      Например,

      5* 52 = 52.

      3. Если необходимо возвести одну степень в другую, основанием результата останется то же число, а показатели степени перемножаются.

      (an )m = an*m

      Например,

      (5)2 = 58.

      4. Если в некоторую степень необходимо возвести произведение произвольных чисел, то можно воспользоваться неким распределительным законом, при котором получим произведение различных оснований в одной и той же степени.

      (a * b)m = am * bm

      Например,

      (5 * 8 )2 = 52 * 82.

      5. Аналогичное свойство можно применять для деления степеней, иначе говоря, для возведения обыкновенной двоби в степень.

      (a / b)m = am / bm

      6. Любое число, которое возводится в показатель степени, равный единице, равно первоначальному числу.

      а1 = а

      Например,

      51 = 5.

      7. При возведении любого числа в степень с показателем ноль, результатом данного вычисления всегда будет единица.

      а0 = 1

      Например,

      70 = 1.


      cknow.ru

Оставить комментарий

avatar
  Подписаться  
Уведомление о