Таблица арифметических квадратных корней – Таблица квадратных корней

Таблица квадратных корней

В таблице приведены квадратные корни натуральных чисел от 1 до 100.




√1 = 1

√4 = 2

√9 = 3

√16 = 4

√25 = 5

√36 = 6

√49 = 7

√64 = 8

√81 = 9

√100 = 10

√121 = 11

√144 = 12

√169 = 13

√196 = 14

√225 = 15

√256 = 16

√289 = 17

√324 = 18

√361 = 19

√400 = 20

√441 = 21

√484 = 22

√529 = 23

√576 = 24

√625 = 25

√676 = 26

√729 = 27

√784 = 28

√841 = 29

√900 = 30

√961 = 31

√1024 = 32

√1089 = 33

√1156 = 34

√1225 = 35

√1296 = 36

√1369 = 37

√1444 = 38

√1521 = 39

√1600 = 40

√1681 = 41

√1764 = 42

√1849 = 43

√1936 = 44

√2025 = 45

√2116 = 46

√2209 = 47

√2304 = 48

√2401 = 49

√2500 = 50

√2601 = 51

√2704 = 52

√2809 = 53

√2916 = 54

√3025 = 55

√3136 = 56

√3249 = 57

√3364 = 58

√3481 = 59

√3600 = 60

√3721 = 61

√3844 = 62

√3969 = 63

√4096 = 64

√4225 = 65

√4356 = 66

√4489 = 67

√4624 = 68

√4761 = 69

√4900 = 70

√5041 = 71

√5184 = 72

√5329 = 73

√5476 = 74

√5625 = 75

√5776 = 76

√5929 = 77

√6084 = 78

√6241 = 79

√6400 = 80

√6561 = 81

√6724 = 82

√6889 = 83

√7056 = 84

√7225 = 85

√7396 = 86

√7569 = 87

√7744 = 88

√7921 = 89

√8100 = 90

√8281 = 91

√8464 = 92

√8649 = 93

√8836 = 94

√9025 = 95

√9216 = 96

√9409 = 97

√9604 = 98

√9801 = 99

√10000 = 100

naobumium.info

Таблица корней

В данной статье мы с вами разберем такое понятие как квадратный корень, какие бывают виды корней, а так же рассмотрим таблицу корней и то как ей пользоваться.

Итак, что же такое квадратный корень. Для того чтобы это понять воспользуемся примерами из школьного курса и рассмотрим простое уравнение, типа: х2 = 4. Что бы его решить нужно понять какое число нужно возводить в квадрат для получения 4. Это не так уж и сложно так как таблица умножения подсказывает нам что это 2 либо -2. с целью упрощения математического решения и ввели понятие квадратного корня с присвоением ему специального символа ?.

Квадратным корнем положительного числа а, будет только положительное число квадрат от которого равняется а.

Как вы думаете почему а может быть только положительное число. Опять обратимся к примеру и найдем корень для ?(-9). И это будет 32 = 9, но не — 9, а если возьмем -3. Проверим (-3)2 = 9. Опять не получается и все это из-за того что не существует таких чисел, которые в квадрате давали бы число со знаком минус.

Можно заметить что квадратный корень в решении, может быть только положительным числом, но почему тогда в первом уравнении упоминалось как 2 так и -2? Объясняю, есть квадратные уравнения и арифметические квадратные корни от числа и это разные вещи. Например х2=4 не тоже самое что х=?4.

Да, в этом легко запутаться, но когда нужно только извлечь корень от какого либо числа, то в ответе получим исключительно положительный ответ.

Для удобства и быстроты нахождения решений, существует таблица корней, которая содержит в себе уже готовые извлеченные корни. Пользуйтесь!
Верхняя строка содержит единицы, а левый столбец десятки. К примеру вам необходимо узнать квадратный корень числа 54. Ищем десятки с левой стороны (это будет цифра 5), а единицы с верху (это будет цифра 4). При пересечении этих значений и находится нужный нам ответ который равен 6,7082.

Таблица корней от 0 до 99

Также есть таблица квадратов, не путайте с таблицей корней. Выглядит она так:


Она удобно если вам нужно сразу получить значение двухзначного числа в квадрате. К примеру, нужно возвести 89 в квадрат. Находим 8 слева, 9 сверху, на пересечении значение квадрата — 7921.

Чем больше вы будите работать с корнями, тем реже будите пользоваться данной таблицей. Так как все значения со временем запоминаются. Это как таблица умножения, которой мы пользуемся только для изучения и запоминания.

С корнями возможно производить только три действия и это:

— умножать,
— делить,
-возводить в степень.

Свойства и Примеры объединены и показаны в таблице.

Когда срочно нужна курсовая работа, а времени на её написание практически нет. Стоит обратиться за помощью, которая находиться на сайте http://zakazat-kursovuyu.ru/index.php/zakaz-kursovoj. Ценой и качеством Вы будите приятно удивленны.


Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:


reshit.ru

Таблица корней по алгебре

Таблица корней — это таблица, с помощью которой можно извлекать квадратные корни чисел от 0 до 99. Пользоваться таблицей очень легко. Просто выберите число десятков по вертикали и число единиц по горизонтали, результат будет на их пересечении. Например, √36=6. 3 выбирается слева, 6 — сверху. Возможно, вам также будет интересна таблица квадратов.

Извлечение корней онлайн

https://uchim.org/matematika/tablica-kornej — uchim.org

Таблица корней по алгебре (числа от 0 до 99, округление до пятого знака)
√x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 0 1 1,41421 1,73205 2 2,23607 2,44949 2,64575 2,82843 3
1 3,16228 3,31662 3,4641 3,60555 3,74166 3,87298 4 4,12311 4,24264 4,3589
2 4,47214 4,58258 4,69042 4,79583 4,89898 5 5,09902 5,19615 5,2915 5,38516
3 5,47723 5,56776 5,65685 5,74456 5,83095 5,91608 6 6,08276 6,16441 6,245
4 6,32456 6,40312 6,48074 6,55744 6,63325 6,7082 6,78233 6,85565 6,9282 7
5 7,07107 7,14143 7,2111 7,28011 7,34847 7,4162 7,48331 7,54983 7,61577 7,68115
6 7,74597 7,81025 7,87401 7,93725 8 8,06226 8,12404 8,18535 8,24621 8,30662
7 8,3666 8,42615 8,48528 8,544 8,60233 8,66025 8,7178 8,77496 8,83176 8,88819
8 8,94427 9 9,05539 9,11043 9,16515 9,21954 9,27362 9,32738 9,38083 9,43398
9 9,48683 9,53939 9,59166 9,64365 9,69536 9,74679 9,79796 9,84886 9,89949 9,94987

Таблица корней в виде компактной картинки (удобно для шпаргалки, например, в 8 классе):

Всё для учебы » Математика в школе » Таблица корней по алгебре

Чтобы добавить страницу в закладки, нажмите Ctrl+D.

Если страница помогла, сохраните её и поделитесь ссылкой с друзьями:

Ссылка: https://uchim.org/matematika/tablica-kornej

Группа с кучей полезной информации (подпишитесь, если предстоит ЕГЭ или ОГЭ):

uchim.org

Таблицы квадратов чисел от 1. Таблица квадратов от 1 до 100. Таблица квадратных корней. Натуральных чисел от 1 до 30 и от 1 до 100. Таблица квадратов больших чисел. Квадраты чисел. Удобная расчетная таблица 1,00 — 9,99.

Техническая информация тут

  • Перевод единиц измерения величин
  • Таблицы числовых значений
  • Алфавиты, номиналы, единицы
  • Математический справочник тут
  • Физический справочник
  • Химический справочник
  • Материалы
  • Рабочие среды
  • Оборудование
  • Инженерное ремесло
  • Инженерные системы
  • Технологии и чертежи
  • Личная жизнь инженеров
  • Калькуляторы
  • Поиск на сайте DPVAПоставщики оборудованияПолезные ссылкиО проектеОбратная связьОтветы на вопросы.Оглавление

    Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru:  главная страница  / / Техническая информация / / Математический справочник / / Таблицы численных значений. (Таблица квадратов, кубов, синусов ….) + Таблицы Брадиса  / / Таблицы квадратов чисел от 1. Таблица квадратов от 1 до 100. Таблица квадратных корней. Натуральных чисел от 1 до 30 и от 1 до 100. Таблица квадратов больших чисел. Квадраты чисел. Удобная расчетная таблица 1,00 — 9,99.


    Таблица квадратов целых чисел от 1 до 30. Таблица квадратов от 1 до 100. Таблица квадратных корней от 1 до 900 (корни от 0 до 30). Квадраты чисел.  Вариант для печати.



    Таблица квадратов целых чисел от 1 до 30. Полезна для заучивания наизусть.
    x2 12 22 32 42 52 62 72 82 92 102 112 122 132 142 152

    x2

    кликабельная картинка


    = 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 225
    Справочно:

    dpva.ru

    Квадратный корень. Действия с квадратными корнями. Модуль. Сравнение квадратных корней

    Факт 1.
    \(\bullet\) Возьмем некоторое неотрицательное число \(a\) (то есть \(a\geqslant 0\)). Тогда (арифметическим) квадратным корнем из числа \(a\) называется такое неотрицательное число \(b\), при возведении которого в квадрат мы получим число \(a\): \[\sqrt a=b\quad \text{то же самое, что }\quad a=b^2\] Из определения следует, что \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Эти ограничения являются важным условием существования квадратного корня и их следует запомнить!
    Вспомним, что любое число при возведении в квадрат дает неотрицательный результат. То есть \(100^2=10000\geqslant 0\) и \((-100)^2=10000\geqslant 0\).
    \(\bullet\) Чему равен \(\sqrt{25}\)? Мы знаем, что \(5^2=25\) и \((-5)^2=25\). Так как по определению мы должны найти неотрицательное число, то \(-5\) не подходит, следовательно, \(\sqrt{25}=5\) (так как \(25=5^2\)).
    Нахождение значения \(\sqrt a\) называется извлечением квадратного корня из числа \(a\), а число \(a\) называется подкоренным выражением.
    \(\bullet\) Исходя из определения, выражения \(\sqrt{-25}\), \(\sqrt{-4}\) и т.п. не имеют смысла.
     

    Факт 2.
    Для быстрых вычислений полезно будет выучить таблицу квадратов натуральных чисел от \(1\) до \(20\): \[\begin{array}{|ll|}
    \hline
    1^2=1 & \quad11^2=121 \\
    2^2=4 & \quad12^2=144\\
    3^2=9 & \quad13^2=169\\
    4^2=16 & \quad14^2=196\\
    5^2=25 & \quad15^2=225\\
    6^2=36 & \quad16^2=256\\
    7^2=49 & \quad17^2=289\\
    8^2=64 & \quad18^2=324\\
    9^2=81 & \quad19^2=361\\
    10^2=100& \quad20^2=400\\
    \hline \end{array}\]

    Факт 3.
    Какие действия можно выполнять с квадратными корнями?
    \(\bullet\) Сумма или разность квадратных корней НЕ РАВНА квадратному корню из суммы или разности, то есть \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt{a\pm b}\] Таким образом, если вам нужно вычислить, например, \(\sqrt{25}+\sqrt{49}\), то первоначально вы должны найти значения \(\sqrt{25}\) и \(\sqrt{49}\), а затем их сложить. Следовательно, \[\sqrt{25}+\sqrt{49}=5+7=12\] Если значения \(\sqrt a\) или \(\sqrt b\) при сложении \(\sqrt
    a+\sqrt b\) найти не удается, то такое выражение дальше не преобразуется и остается таким, как есть. Например, в сумме \(\sqrt
    2+ \sqrt {49}\) мы можем найти \(\sqrt{49}\) – это \(7\), а вот \(\sqrt
    2\) никак преобразовать нельзя, поэтому \(\sqrt 2+\sqrt{49}=\sqrt
    2+7\). Дальше это выражение, к сожалению, упростить никак нельзя

     
    \(\bullet\) Произведение/частное квадратных корней равно квадратному корню из произведения/частного, то есть \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt{ab}\quad \text{и}\quad
    \sqrt a:\sqrt b=\sqrt{a:b}\] (при условии, что обе части равенств имеют смысл)
    Пример: \(\sqrt{32}\cdot \sqrt 2=\sqrt{32\cdot
    2}=\sqrt{64}=8\);
     
    \(\sqrt{768}:\sqrt3=\sqrt{768:3}=\sqrt{256}=16\);
     
    \(\sqrt{(-25)\cdot (-64)}=\sqrt{25\cdot 64}=\sqrt{25}\cdot \sqrt{64}=
    5\cdot 8=40\).
     
    \(\bullet\) Пользуясь этими свойствами, удобно находить квадратные корни из больших чисел путем разложения их на множители.
    Рассмотрим пример. Найдем \(\sqrt{44100}\). Так как \(44100:100=441\), то \(44100=100\cdot 441\). По признаку делимости число \(441\) делится на \(9\) (так как сумма его цифр равна 9 и делится на 9), следовательно, \(441:9=49\), то есть \(441=9\cdot 49\).
    Таким образом, мы получили: \[\sqrt{44100}=\sqrt{9\cdot 49\cdot 100}=
    \sqrt9\cdot \sqrt{49}\cdot \sqrt{100}=3\cdot 7\cdot 10=210\] Рассмотрим еще один пример: \[\sqrt{\dfrac{32\cdot 294}{27}}=
    \sqrt{\dfrac{16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2}{9\cdot 3}}= \sqrt{
    \dfrac{16\cdot4\cdot49}{9}}=\dfrac{\sqrt{16}\cdot \sqrt4 \cdot
    \sqrt{49}}{\sqrt9}=\dfrac{4\cdot 2\cdot 7}3=\dfrac{56}3\]
    \(\bullet\) Покажем, как вносить числа под знак квадратного корня на примере выражения \(5\sqrt2\) (сокращенная запись от выражения \(5\cdot
    \sqrt2\)). Так как \(5=\sqrt{25}\), то \[5\sqrt2=\sqrt{25}\cdot \sqrt2=\sqrt{25\cdot 2}=\sqrt{50}\] Заметим также, что, например,
    1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\),
    2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
    3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\).

     

    Почему так? Объясним на примере 1). Как вы уже поняли, как-то преобразовать число \(\sqrt2\) мы не можем. Представим, что \(\sqrt2\) – это некоторое число \(a\). Соответственно, выражение \(\sqrt2+3\sqrt2\) есть не что иное, как \(a+3a\) (одно число \(a\) плюс еще три таких же числа \(a\)). А мы знаем, что это равно четырем таким числам \(a\), то есть \(4\sqrt2\).
     

    Факт 4.
    \(\bullet\) Часто говорят “нельзя извлечь корень”, когда не удается избавиться от знака \(\sqrt {} \ \) корня (радикала) при нахождении значения какого-то числа. Например, извлечь корень из числа \(16\) можно, потому что \(16=4^2\), поэтому \(\sqrt{16}=4\). А вот извлечь корень из числа \(3\), то есть найти \(\sqrt3\), нельзя, потому что нет такого числа, которое в квадрате даст \(3\).
    Такие числа (или выражения с такими числами) являются иррациональными. Например, числа \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt{15}\) и т.п. являются иррациональными.
    Также иррациональными являются числа \(\pi\) (число “пи”, приблизительно равное \(3,14\)), \(e\) (это число называют числом Эйлера, приблизительно оно равно \(2,7\)) и т.д.
    \(\bullet\) Обращаем ваше внимание на то, что любое число будет либо рациональным, либо иррациональным. А вместе все рациональные и все иррациональные числа образуют множество, называющееся множеством действительных (вещественных) чисел. Обозначается это множество буквой \(\mathbb{R}\).
    Значит, все числа, которые на данный момент мы знаем, называются вещественными числами.
     

    Факт 5.
    \(\bullet\) Модуль вещественного числа \(a\) – это неотрицательное число \(|a|\), равное расстоянию от точки \(a\) до \(0\) на вещественной прямой. Например, \(|3|\) и \(|-3|\) равны 3, так как расстояния от точек \(3\) и \(-3\) до \(0\) одинаковы и равны \(3\).
    \(\bullet\) Если \(a\) – неотрицательное число, то \(|a|=a\).
    Пример: \(|5|=5\); \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\).
     
    \(\bullet\) Если \(a\) – отрицательное число, то \(|a|=-a\).
    Пример: \(|-5|=-(-5)=5\); \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
    Говорят, что у отрицательных чисел модуль “съедает” минус, а положительные числа, а также число \(0\), модуль оставляет без изменений.
    НО такое правило годится только для чисел. Если у вас под знаком модуля находится неизвестная \(x\) (или какая-то другая неизвестная), например, \(|x|\), про которую мы не знаем, положительная она, равна нулю или отрицательная, то избавиться от модуля мы не можем. В этом случае это выражение таким и остается: \(|x|\).
     
    \(\bullet\) Имеют место следующие формулы: \[{\large{\sqrt{a^2}=|a|}}\] \[{\large{(\sqrt{a})^2=a}},
    \text{ при условии } a\geqslant 0\] Очень часто допускается такая ошибка: говорят, что \(\sqrt{a^2}\) и \((\sqrt a)^2\) – одно и то же. Это верно только в том случае, когда \(a\) – положительное число или ноль. А вот если \(a\) – отрицательное число, то это неверно. Достаточно рассмотреть такой пример. Возьмем вместо \(a\) число \(-1\). Тогда \(\sqrt{(-1)^2}=\sqrt{1}=1\), а вот выражение \((\sqrt {-1})^2\) вообще не существует (ведь нельзя под знак корня помещать отрицательные числа!).
    Поэтому обращаем ваше внимание на то, что \(\sqrt{a^2}\) не равен \((\sqrt a)^2\)!
     
    Пример: 1) \(\sqrt{\left(-\sqrt2\right)^2}=|-\sqrt2|=\sqrt2\), т.к. \(-\sqrt2<0\);

     

    \(\phantom{00000}\) 2) \((\sqrt{2})^2=2\).
     
    \(\bullet\) Так как \(\sqrt{a^2}=|a|\), то \[\sqrt{a^{2n}}=|a^n|\] (выражение \(2n\) обозначает четное число)
    То есть при извлечении корня из числа, находящегося в какой-то степени, эта степень уменьшается в два раза.
    Пример:
    1) \(\sqrt{4^6}=|4^3|=4^3=64\)
    2) \(\sqrt{(-25)^2}=|-25|=25\) (заметим, что если модуль не поставить, то получится, что корень из числа равен \(-25\); но мы помним, что по определению корня такого быть не может: у нас всегда при извлечении корня должно получаться положительное число или ноль)
    3) \(\sqrt{x^{16}}=|x^8|=x^8\) (так как любое число в четной степени неотрицательно)

     

    Факт 6.
    Как сравнить два квадратных корня?
    \(\bullet\) Для квадратных корней верно: если \(\sqrt a<\sqrt b\), то \(a<b\); если \(\sqrt a=\sqrt b\), то \(a=b\).
    Пример:
    1) сравним \(\sqrt{50}\) и \(6\sqrt2\). Для начала преобразуем второе выражение в \(\sqrt{36}\cdot \sqrt2=\sqrt{36\cdot 2}=\sqrt{72}\). Таким образом, так как \(50<72\), то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\). Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\).
    2) Между какими целыми числами находится \(\sqrt{50}\)?
    Так как \(\sqrt{49}=7\), \(\sqrt{64}=8\), а \(49<50<64\), то \(7<\sqrt{50}<8\), то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\).
    3) Сравним \(\sqrt 2-1\) и \(0,5\). Предположим, что \(\sqrt2-1>0,5\): \[\begin{aligned}
    &\sqrt 2-1>0,5 \ \big| +1\quad \text{(прибавим единицу к обеим
    частям)}\\[1ex]
    &\sqrt2>0,5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text{(возведем обе части в
    квадрат)}\\[1ex]
    &2>1,5^2\\
    &2>2,25 \end{aligned}\] Видим, что мы получили неверное неравенство. Следовательно, наше предположение было неверным и \(\sqrt 2-1<0,5\).
    Заметим, что прибавление некоторого числа к обеим частям неравенства не влияет на его знак. Умножение/деление обеих частей неравенства на положительное число также не влияет на его знак, а умножение/деление на отрицательное число меняет знак неравенства на противоположный!
    Возводить обе части уравнения/неравенства в квадрат можно ТОЛЬКО ТОГДА, когда обе части неотрицательные. Например, в неравенстве из предыдущего примера возводить обе части в квадрат можно, в неравенстве \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)!
     
    \(\bullet\) Следует запомнить, что \[\begin{aligned}
    &\sqrt 2\approx 1,4\\[1ex]
    &\sqrt 3\approx 1,7 \end{aligned}\] Знание приблизительного значения данных чисел поможет вам при сравнении чисел!
     
    \(\bullet\) Для того, чтобы извлечь корень (если он извлекается) из какого-то большого числа, которого нет в таблице квадратов, нужно сначала определить, между какими “сотнями” оно находится, затем – между какими “десятками”, а потом уже определить последнюю цифру этого числа. Покажем, как это работает, на примере.
    Возьмем \(\sqrt{28224}\). Мы знаем, что \(100^2=10\,000\), \(200^2=40\,000\) и т.д. Заметим, что \(28224\) находится между \(10\,000\) и \(40\,000\). Следовательно, \(\sqrt{28224}\) находится между \(100\) и \(200\).
    Теперь определим, между какими “десятками” находится наше число (то есть, например, между \(120\) и \(130\)). Также из таблицы квадратов знаем, что \(11^2=121\), \(12^2=144\) и т.д., тогда \(110^2=12100\), \(120^2=14400\), \(130^2=16900\), \(140^2=19600\), \(150^2=22500\), \(160^2=25600\), \(170^2=28900\). Таким образом, мы видим, что \(28224\) находится между \(160^2\) и \(170^2\). Следовательно, число \(\sqrt{28224}\) находится между \(160\) и \(170\).
    Попробуем определить последнюю цифру. Давайте вспомним, какие однозначные числа при возведении в квадрат дают на конце \(4\)? Это \(2^2\) и \(8^2\). Следовательно, \(\sqrt{28224}\) будет заканчиваться либо на 2, либо на 8. Проверим это. Найдем \(162^2\) и \(168^2\):
    \(162^2=162\cdot 162=26224\)
    \(168^2=168\cdot 168=28224\).
    Следовательно, \(\sqrt{28224}=168\). Вуаля!

    shkolkovo.net

    Числа / math5school.ru


    2

    3

    5

    7

        11

        13

    17

    19

    23

    29

    31

    37

    41

    43

    47

    53

    59

    61

    67

    71

    73

    79

    83

    89

    97

    101

    103

       107

       109

    113

    127

    131

    137

    139

       149

       151

    157

    163

    167

    173

    179

    181

       191

       193

    197

    199

    211

    223

    227

    229

    233

    239

    241

    251

    257

    263

    269

    271

    277 

    281

    283

    293

    307

    311

    313

    317

    331

    337

    347

    349

    353

    359

    367

    373 

    379

    383

    389

    397

    401

    409

    419

    421

       431

       433

    439

    443

    449

    457

    461

    463

    467

    479

    487

    491

    499

    503

    509

    521

    523

    541

    547

    557

    563

    569

    571

    577

    587

    593

    599

    601

    607

    613

    617

    619

    631

    641

    643

    647

    653

    659

    661

    673

    677

    683

    691

    701

    709

    719

    727

    733

    739

    743

    751

    757

    761

    769

    773

    787

    797

    809

    811

       821

       823

    827 

    829

    839

    853

    857

    859

    863

    877

    881

    883

    887

    907

    911

    919

    929

    937

    941

    947

    953

    967

    971

    977

    983

    991 

    997

    1009

    1013

    1019

    1021

     1031

     1033

    1039

    1049

    1051

     1061

     1063

    1069

    1087

    1091

    1093

    1097

    1103

    1109

    1117

    1123

    1129

    1151

    1153

    1163

    1171

    1181

    1187

    1193

    1201

    1213

    1217

    1223

    1229

    1231

    1237

    1249

    1259

    1277

    1279

    1283

    1289

    1291

    1297

    1301

    1303

    1307

    1319

    1321

    1327

    1361

    1367

    1373

    1381

    1399

    1409 

    1423

    1427

    1429

    1433

    1439

    1447 

    1451

    1453

    1459

    1471

    1481

    1483

     1487

     1489

    1493

    1499

    1511

    1523

    1531

    1543

    1549

    1553

    1559

    1567

    1571

    1579

    1583

    1597

    1601

    1607

    1609

    1613

    1619

    1621

    1627

    1637

    1657

    1663

    1667

    1669

    1693

    1697

    1699

    1709

    1721

    1723

    1733

    1741

    1747

    1753

    1759

    1777

    1783

    1787

    1789

    1801

    1811

    1823

    1831

    1847

    1861

    1867

    1871

    1873

    1877

    1879

    1889

    1901

    1907

    1913

    1931

    1933

     1949

     1951

    1973

    1979

    1987

    1993

    1997

    1999

    2003

    2011

    2017

    2027

    2029

    2039

    2053

    2063

    2069

    2081

    2083

     2087

     2089

    2099

    2111

    2113

     2129

     2131

    2137

    2141

    2143

    2153

    2161

    2179

    2203

    2207

    2213

    2221

    2237

    2239

    2243

    2251

    2267

    2269

    2273

    2281

    2287

    2293

    2297

    2309

    2311

    2333

    2339 

    2341

    2347

    2351

    2357

    2371

    2377

    2381

    2383

    2389

    2393

    2399

    2411

    2417

    2423

    2437

    2441

    2447

    2459

    2467

    2473

    2477

    2503

    2521

    2531

    2539

    2543

    2549

    2551

    2557

    2579

    2591

    2593

    2609

    2617

    2621

    2633

    2647

    2657

    2659

    2663

    2671

    2677

    2683

    2687

    2689

    2693

    2699

    2707

    2711

    2713

    2719

    2729

    2731 

    2741

    2749

    2753

    2767

    2777

    2789

    2791

    2797

    2801

    2803

    2819

    2833

    2837

    2843

    2851

    2857

    2861

    2879

    2887

    2897

    2903

    2909

    2917

    2927

    2939

    2953

    2957

    2963

    2969

    2971

     2999

     3001

    3011

    3019

    3023

    3037

    3041

    3049

    3061

    3067

    3079

    3083

    3089

    3109

    3119

    3121

    3137

    3163

    3167

    3169

    3181

    3187

    3191

    3203

    3209

    3217

    3221

    3229

    3251

    3253

     3257

     3259

    3271

    3299

    3301

    3307

    3313

    3319

    3323

    3329

    3331

    3343

    3347

    3359

    3361

     3371

     3373

    3389

    3391

    3407

    3413

    3433

    3449

    3457

    3461 

    3463

     3467

     3469

    3491

    3499

    3511

    3517

    3527

    3529

    3533

    3539

    3541

    3547

    3557

    3559

    3571

    3581

    3583

    3593

    3607

    3613

    3617

    3623

    3631

    3637

    3643

    3659 

    3671

    3673

    3677

    3691

    3697

    3701

    3709

    3719

    3727

    3733

    3739

    3761

    3767

    3769

    3779

    3793

    3797

    3803

    3821

    3823

    3833

    3847

    3851

    3853

    3863

    3877

    3881

    3889

    3907

    3911

    3917

    3919

    3923

    3929

    3931

    3943

    3947

    3967

    3989

    4001

    4003

    4007

    4013

    4019

    4021

    4027

    4049

    4051

    4057

    4073

    4079

    4091

    4093

    4099

    4111

    4127

    4129

    4133 

    4139

    4153

    4157

    4159

    4177

    4201

    4211

    4217

    4219

     4229

     4231

    4241

    4243

    4253

    4259

    4261

     4271

     4273

    4283

    4289

    4297

    4327

    4337

    4339

    4349

    4357

    4363

    4373

    4391

    4397

    4409

    4421 

    4423

    4441

    4447

    4451

    4457

    4463

    4481

    4483

    4493

    4507

    4513

    4517

    4519

    4523

    4547

    4549

    4561

    4567

    4583

    4591

    4597

    4603

    4621

    4637

    4639

    4643

    4649

    4651

    4657

    4663

    4673

    4679

    4691

    4703

    4721

    4723

    4729

    4733

    4751

    4759

    4783

    4787

    4789

    4793

    4799

    4801

    4813

    4817

    4831

    4861

    4871

    4877

    4889 

    4903

    4909

    4919

    4931

    4933

    4937

    4943

    4951

    4957

    4967

    4969

    4973

    4987

    4993

    4999

    5003

    5009

    5011

     5021

     5023

    5039

    5051

    5059

    5077

    5081

    5087

    5099

    5101

    5107

    5113

    5119

    5147 

    5153

    5167

    5171

    5179

    5189

    5197

    5209

    5227

    5231

    5233

    5237

    5261

    5273

    5279

    5281

    5297

    5303

    5309

    5323

    5333

    5347

    5351

    5381

    5387

    5393

    5399

    5407

    5413

    5417

    5419

    5431

    5437

    5441

    5443

    5449

    5471

    5477

    5479

    5483

    5501

    5503

    5507

    5519

    5521

    5527

    5531

    5557

    5563

    5569

    5573

    5581

    5591

    5623 

    5639

    5641

    5647

    5651

    5653

     5657

     5659

    5669

    5683

    5689

    5693

    5701

    5711

    5717

    5737

    5741

    5743

    5749

    5779

    5783

    5791

    5801

    5807

    5813

    5821

    5827

    5839

    5843

    5849

    5851

    5857

    5861 

    5867

    5869

     5879

     5881

    5897

    5903

    5923

    5927

    5939

    5953

    5981

    5987

    6007

    6011

    6029

    6037

    6043

    6047

    6053

    6067

    6073

    6079

    6089

    6091

    6101

    6113

    6121

    6131

    6133

    6143

    6151

    6163

    6173

    6197

    6199

    6203

    6211

    6217

    6221

    6229

    6247

    6257

    6263

    6269

    6271

    6277

    6287

    6299

    6301

    6311

    6317

    6323

    6329 

    6337

    6343

    6353

    6359

    6361

    6367

    6373

    6379

    6389

    6397

    6421

    6427

    6449

    6451

    6469

    6473

    6481

    6491

    6521

    6529

    6547

    6551

    6553

    6563

    6569

    6571

    6577

    6581

    6599

    6607

    6619

    6637 

    6653

    6659

    6661

    6673

    6679

    6689

    6691

     6701

     6703

    6709

    6719

    6733

    6737

    6761

    6763

     6779

     6781

    6791

    6793

    6803

    6823

    6827

    6829

    6833

    6841

    6857

    6863

    6869

    6871

    6883

    6899

    6907

    6911

    6917

    6947

    6949

     6959

     6961

    6967

    6971

    6977

    6983

    6991

    6997

    7001

    7013

    7019

    7027

    7039

    7043

    7057

    7069

    7079 

    7103

    7109

    7121

    7127

    7129

    7151

    7159

    7177

    7187

    7193

    7207

    7211

    7213

    7219

    7229

    7237

    7243

    7247

    7253

    7283

    7297

    7307

    7309

    7321

    7331

    7333

    7349

    7351

    7369

    7393

    7411

    7417 

    7433

    7451

    7457

    7459

    7477

    7481

    7487

    7489

    7499

    7507

    7517

    7523

    7529

    7537

    7541

    7547

    7549

    7559

    7561

    7573

    7577

    7583

    7589

    7591

    7603

    7607

    7621

    7639

    7643

    7649

    7669

    7673

    7681

    7687

    7691

    7699

    7703

    7717

    7723

    7727

    7741

    7753

    7757

    7759

    7789

    7793

    7817

    7823

    7829

    7841

    7853

    7867

    7873 

    7877

    7879

    7883

    7901

    7907

    7919

    7927

    7933

    7937

    7949

    7951

    7963

    7993

    8009

    8011

    8017

    8039

    8053

    8059

    8069

    8081

    8087

    8089

    8093

    8101

    8111

    8117

    8123

    8147

    8161

    8167

    8171

    8179

    8191

    8209

    8219

    8221

     8231

     8233

    8237

    8243

    8263 

    8269

    8273

    8287

    8291

    8293

    8297

    8311

    8317

    8329

    8353

    8363

    8369

    8377

    8387

    8389

    8419

    8423

    8429

    8431

    8443

    8447

    8461

    8467

    8501

    8513

    8521

    8527

    8537

    8539

    8543

    8563

    8573

    8581

    8597

    8599

    8609

    8623

    8627

    8629

    8641

    8647

    8663

    8669 

    8677

    8681

    8689

    8693

    8699

    8707

    8713

    8719

    8731

    8737

    8741

    8747

    8753

    8761

    8779

    8783

    8803

    8807

    8819

    8821

    8831

    8837

    8839

    8849

    8861

    8863

    8867

    8887

    8893

    8923

    8929

    8933 

    8941

    8951

    8963

    8969

    8971

     8999

     9001

    9007

    9011

    9013

    9029

    9041

    9043

    9049

    9059

    9067

    9091

    9103

    9109

    9127

    9133

    9137

    9151

    9157

    9161

    9173

    9181

    9187

    9199

    9203

    9209

    9221

    9227

    9239

    9241

    9257

    9277

    9281

    9283

    9293

    9311

    9319

    9323

    9337

    9341

    9343

    9349

    9371

    9377

    9391

    9397

    9403

    9413 

    9419

    9421

     9431

     9433

    9437

    9439

     9461

     9463

    9467

    9473

    9479

    9491

    9497

    9511

    9521

    9533

    9539

    9547

    9551

    9587

    9601

    9613

    9619

    9623

    9629

    9631

    9643

    9649

    9661

    9677

    9679

    9689

    9697

    9719 

    9721

    9733

    9739

    9743

    9749

    9767

    9769

    9781

    9787

    9791

    9803

    9811

    9817

    9829

    9833

    9839

    9851

    9857

    9859 

    9871

    9883

    9887

    9901

    9907

    9923

    9929

    9931

    9941

    9949

    9967

    9973

    math4school.ru

    Корни и степени. Квадратный корень, кубический корень.


    Степенью называется выражение вида .

    Здесь  — основание степени,  — показатель степени.

    Степень с натуральным показателем

    Проще всего определяется степень с натуральным (то есть целым положительным) показателем.

    По определению, .

    Выражения «возвести в квадрат» и «возвести в куб» нам давно знакомы.
    Возвести число в квадрат — значит умножить его само на себя.

    .

    Возвести число в куб — значит умножить его само на себя три раза.

    .

    Возвести число в натуральную степень  — значит умножить его само на себя раз:

    Степень с целым показателем

    Показатель степени может быть не только натуральным (то есть целым положительным), но и равным нулю, а также целым отрицательным.

    По определению,

    .

    Это верно для . Выражение 00 не определено.

    Определим также, что такое степень с целым отрицательным показателем.

    Конечно, все это верно для , поскольку на ноль делить нельзя.

    Например,

    Заметим, что при возведении в минус первую степень дробь переворачивается.

    Показатель степени может быть не только целым, но и дробным, то есть рациональным числом. В статье «Числовые множества» мы говорили, что такое рациональные числа. Это числа, которые можно записать в виде дроби , где  — целое,  — натуральное.

    Здесь нам понадобится новое понятие — корень -степени. Корни и степени — две взаимосвязанные темы. Начнем с уже знакомого вам арифметического квадратного корня.

    Арифметический квадратный корень

    Уравнение  имеет два решения:  и .

    Это числа, квадрат которых равен .

    А как решить уравнение ?

    Если мы нарисуем график функции , то увидим, что и у этого уравнения есть два решения, одно из которых положительно, а другое отрицательно.

    Но эти решения не являются целыми числами. Более того, они не являются рациональными. Для того чтобы записать эти решения, мы вводим специальный символ квадратного корня.

    Арифметический квадратный корень из числа  — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен .

    Запомните это определение.

    Арифметический квадратный корень обозначается .

    Например,

    Обратите внимание:

    1) Квадратный корень можно извлекать только из неотрицательных чисел

    2) Выражение всегда неотрицательно. Например, .

    Перечислим свойства арифметического квадратного корня:

    1.

    2.
    3.

    Запомним, что выражение не равно . Легко проверить:

    — получился другой ответ.

    Кубический корень

    Аналогично, кубический корень из  — это такое число, которое при возведении в третью степень дает число .

    Например, , так как ;

    , так как ;

    , так как .

    Обратите внимание, что корень третьей степени можно извлекать как из положительных, так и из отрицательных чисел.

    Теперь мы можем дать определение корня -ной степени для любого целого .

    Корень -ной степени

    Корень -ной степени из числа  — это такое число, при возведении которого в -ную степень получается число .

    Например,

    Заметим, что корень третьей, пятой, девятой — словом, любой нечетной степени, — можно извлекать как из положительных, так и из отрицательных чисел.

    Квадратный корень, а также корень четвертой, десятой, в общем, любой четной степени можно извлекать только из неотрицательных чисел.

    Итак, — такое число, что . Оказывается, корни можно записывать в виде степеней с рациональным показателем. Это удобно.

    По определению,

    в общем случае .

    Сразу договоримся, что основание степени больше .

    Например,

    Выражение по определению равно .

    При этом также выполняется условие, что больше .

    Например,

    Запомним правила действий со степенями:

    — при перемножении степеней показатели складываются

    — при делении степени на степень показатели вычитаются

    — при возведении степени в степень показатели перемножаются

    Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

    Покажем, как применяются эти формулы в заданиях ЕГЭ по математике:

    1.

    Внесли все под общий корень, разложили на множители, сократили дробь и извлекли корень.

    2.

    3.

    Здесь мы записали корни в виде степеней и использовали формулы действий со степенями.

    Звоните нам:
    8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
                           +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

    Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

    ege-study.ru

    Оставить комментарий

    avatar
      Подписаться  
    Уведомление о