Трапеция прямоугольная – Прямоугольная трапеция. Формулы, признаки и свойства прямоугольной трапеции

Прямоугольная трапеция | Треугольники

Что такое прямоугольная трапеция и какими свойствами она обладает?

Определение.

Прямоугольная трапеция — это трапеция, у которой одна боковая сторона перпендикулярна основаниям.

Рисунок прямоугольной трапеции

 

ABCD- прямоугольная трапеция,

AD ∥ BC — основания трапеции,

AB и CD — ее боковые стороны,

   

Свойства прямоугольной трапеции:

1) Высота прямоугольной трапеции равна ее меньшей боковой стороне.

AB — высота трапеции ABCD.

2) У прямоугольной трапеции два угла — прямые, один — острый и один — тупой.

∠A и ∠B — прямые, ∠D — острый, ∠C — тупой.

3) Высота, проведенная из вершины тупого угла, делит прямоугольную трапецию на прямоугольник и прямоугольный треугольник.

   

ABCD — прямоугольник (так как у него все углы — прямые). Следовательно, AF=BC, CF=AB.

FCD — прямоугольный треугольник. FD=AD-AF,

отсюда FD=AD-BC. Если AD=a, BC=b, CF=AB=h, то 

   

и по теореме Пифагора

   

   

4) Квадрат меньшей диагонали прямоугольной трапеции равен сумме квадратов ее высоты и меньшего основания.

Треугольник ABC — прямоугольный.

По теореме Пифагора,

   

   

   

 

5) Квадрат большей диагонали прямоугольной трапеции равен сумме квадратов ее высоты и большего основания.

Треугольник ABD — прямоугольный.

По теореме Пифагора,

   

   

   

www.treugolniki.ru

Прямоугольная трапеция

См. такжетрапеция и ее свойства.

Прямоугольная трапеция — это трапеция, у которой хотя бы один из углов прямой (классическое определение)


Примечание. На самом деле, у прямоугольной трапеции, как минимум, два прямых угла (см. ниже — свойства)


Другие определения:

  • Прямоугольной называется трапеция, у которой одна боковая сторона перпендикулярна основаниям
  • Трапеция, имеющая прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной.

Формулы для прямоугольной трапеции

Обозначения формул даны на чертеже выше.


Соответственно:


a и b — основания трапеции


с — боковая сторона прямоугольной трапеции, перпендикулярная основаниям


d — боковая сторона трапеции, не являющаяся перпендикулярной основаниям


α — острый угол при большем основании трапеции


m — средняя линия трапеции


Интерпретация формул:


Боковая сторона прямоугольной трапеции, перпендикулярная основаниям, равна высоте трапеции (Формула 1)

Боковая сторона прямоугольной трапеции, перпендикулярная основаниям, равна произведению синуса острого угла при большем основании на длину второй боковой стороны. (Треугольник CKD — прямоугольный, соответственно h/d=sinα согласно свойствам синуса, а c=h) (Формула 2)


Боковая сторона, перпендикулярная основаниям, равна произведению разности оснований на тангенс острого угла при большем основании. (Треугольник CKD — прямоугольный. Поскольку трапеция — прямоугольная, то длина KD — это и есть разность оснований, а h/KD=tgα по определению тангенса, а c=h, откуда с/KD=tgα) (Формула 3)


Боковая сторона, которая не перпендикулярна основаниям, равна частному разности оснований к косинусу острого угла при большем основании или частному высоты трапеции и синуса острого угла при большем основании. (разность оснований равна KD. В прямоугольном треугольнике CKD по определению косинуса cos α = KD / d, откуда и проистекает искомая формула) (Формула 4)


Боковая сторона прямоугольной трапеции, которая не перпендикулярна основаниям, равна корню квадратному из разности квадрата второй боковой стороны и квадрата разности оснований. (Разность оснований равна KD, КС равна второй боковой стороне. Треугольник CKD, далее — следствие из теоремы Пифагора — из квадрата гипотенузы вычитаем квадрат катета и извлекая из полученного выражения квадратный корень, находим искомый катет) (Формула 5)


Боковая сторона прямоугольной трапеции, перпендикулярная основаниям, равна корню квадратному из суммы квадрата второй боковой стороны и квадрата разности оснований. (Разность оснований равна KD, КС равна второй боковой стороне. Треугольник CKD, прямоугольный, далее — следствие из теоремы Пифагора — находим сумму квадратов катетов и извлекаем из полученного выражения квадратный корень) (Формула 6)


Боковая сторона прямоугольной трапеции, перпендикулярная основаниям, равна частному от деления двойной площади трапеции на сумму ее оснований. (Поскольку площадь трапеции равна произведению средней линии трапеции на высоту (S=mh), а h=c, то разделив площадь на среднюю линию прямоугольной трапеции, получим ее высоту, а подставив в формулу значение средней линии (m = ( a + b ) / 2), получим искомую формулу) (Формула 7)


Боковая сторона прямоугольной трапеции, которая не перпендикулярна основаниям, равна частному от деления двойной площади трапеции на произведение суммы ее оснований и синуса острого угла при основании. (Поскольку площадь трапеции равна произведению средней линии трапеции на высоту (S=mh), а h=c, то разделив площадь на среднюю линию прямоугольной трапеции, получим ее высоту, а выразив высоту через вторую боковую сторону и подставив в формулу значение средней линии (m = ( a + b ) / 2), получим искомую формулу) (Формула 8)

Так как прямоугольная трапеция — это частный случай трапеции, то остальные формулы и свойства можно посмотреть в разделе «Трапеция».

Свойства прямоугольной трапеции

  • У прямоугольной трапеции два угла обязательно прямые
  • Оба прямых угла прямоугольной трапеции обязательно принадлежат смежным вершинам
  • Оба прямых угла в прямоугольной трапеции обязательно прилежат к одной и той же боковой стороне
  • Диагонали прямоугольной трапеции образуют с одной из боковых сторон прямоугольный треугольник
  • Длина боковой стороны трапеции, перпендикулярной основаниям равна ее высоте
  • У прямоугольной трапеции основания параллельны, одна боковая сторона перпендикулярна основаниям, а вторая боковая сторона — наклонная к основаниям
  • У прямоугольной трапеции два угла прямые, а два других – острый и тупой

Задача

В прямоугольной трапеции большая боковая сторона равна сумме оснований, высота равна 12 см. Найдите площадь прямоугольника, стороны которого равны основаниям трапеции.

Решение.

Обозначим трапецию как ABCD. Обозначим длины оснований трапеции как  a (большее основание AD) и b (меньшее основание BC). Пусть прямым углом будет

∠A.

Площадь прямоугольника, стороны которого равны основаниям трапеции, будет равна

S = ab

Из вершины C верхнего основания трапеции ABCD опустим на нижнее основание высоту CK. Высота трапеции известна по условию задачи. Тогда, по теореме Пифагора

CK2 + KD

2 = CD2

Поскольку большая боковая сторона трапеции по условию равна сумме оснований, то CD = a + b

Поскольку трапеция прямоугольная, то высота, проведенная из верхнего основания трапеции разбивает нижнее основание на два отрезка

AD = AK + KD.  Величина первого отрезка равна меньшему основанию трапеции, так как высота образовала прямоугольник ABCK, то есть BC = AK = b,  следовательно, KD будет равен разности длин оснований прямоугольной трапеции KD = a — b.
то есть

122 + (a — b)2 = (a + b)2
откуда

144 + a2 — 2ab + b= a2+ 2ab + b2
144 = 4ab

Поскольку площадь прямоугольника S = ab (см. выше), то

144 = 4S

S = 144 / 4 = 36

Ответ: 36 см

2 .

profmeter.com.ua

все формулы и примеры задач :: SYL.ru

Задачи с трапецией не кажутся сложными в ряде фигур, которые изучены ранее. Как частный случай рассматривается прямоугольная трапеция. А при поиске ее площади иногда бывает удобнее разбить ее на две уже знакомые: прямоугольник и треугольник. Стоит только немного подумать, и решение обязательно найдется.

Определение прямоугольной трапеции и ее свойства

У произвольной трапеции основания параллельны, а боковые стороны могут иметь произвольное значение углов к ним. Если рассматривается прямоугольная трапеция, то в ней одна из сторон всегда перпендикулярна основаниям. То есть два угла в ней будут равны 90 градусам. Причем они всегда принадлежат смежным вершинам или, другими словами, одной боковой стороне.


Другие углы в прямоугольной трапеции − это всегда острый и тупой. Причем их сумма всегда будет равна 180 градусам.

Каждая диагональ образует с ее меньшей боковой стороной прямоугольный треугольник. А высота, которая проведена из вершины с тупым углом, делит фигуру на две. Одна из них прямоугольник, а другая − прямоугольный треугольник. Кстати, эта сторона всегда равна высоте трапеции.

Какие обозначения приняты в представленных формулах?

Все величины, используемые в разных выражениях, которые описывают трапецию, удобно сразу оговорить и представить в таблице:

Величина Ее обозначение
a большее основание
b меньшее основание прямоугольной трапеции
c, h перпендикулярная к основаниям боковая сторона, высота
d наклонная боковая сторона
α острый угол
β тупой угол
м средняя линия трапеции
д1 меньшая диагональ
д2 большая диагональ

Формулы, которые описывают элементы прямоугольной трапеции

Самая простая из них связывает высоту и меньшую боковую сторону:

c = h.

Еще несколько формул для этой стороны прямоугольной трапеции:

с = d *sinα;

c = (a — b) * tg α;

c = √ (d2 — (a — b)2).

Первая вытекает из прямоугольного треугольника. И говорит о том, что катет к гипотенузе дает синус противолежащего угла.

В том же треугольнике второй катет равен разности двух оснований. Поэтому справедливо утверждение, которое приравнивает тангенс угла к отношению катетов.

Из того же треугольника можно вывести формулу, основываясь на знании теоремы Пифагора. Это третье записанное выражение.


Можно записать формулы для другой боковой стороны. Их тоже три:

d = (a — b) /cosα;

d = c / sin α;

d = √ (c2 + (а – b)2).

Первые две опять получаются из соотношения сторон в том же прямоугольном треугольнике, а вторая выводится из теоремы Пифагора.

Какой формулой можно воспользоваться для расчета площади?

Той, что дана для произвольной трапеции. Только нужно учесть, что высотой является сторона, перпендикулярная к основаниям.

S = (a + b) * h / 2.

Эти величины не всегда даны явно. Поэтому чтобы вычислить площадь прямоугольной трапеции, потребуется выполнить некоторые математические выкладки.

Как быть, если нужно вычислить диагонали?

В этом случае нужно увидеть, что они образуют два прямоугольных треугольника. Значит, всегда можно воспользоваться теоремой Пифагора. Тогда первая диагональ будет выражаться так:

d1 = √ (с2 + b2)

или по-другому, заменив «с» на «h»:

d1 = √ (h2 + b2).

Аналогичным образом получаются формулы для второй диагонали:

d2 = √ (с2 + b2) или d2 = √ (h2 + а2).

Задача №1

Условие. Площадь прямоугольной трапеции известна и равна 120 дм2. Ее высота имеет длину 8 дм. Необходимо вычислить все стороны трапеции. Дополнительным условием является то, что одно основание меньше другого на 6 дм.

Решение. Поскольку дана прямоугольная трапеция, в которой известна высота, то сразу же можно сказать о том, что одна из сторон равна 8 дм, то есть меньшая боковая сторона.

Теперь можно сосчитать другую: d = √ (с2 + (а – b)2). Причем здесь сразу даны и сторона с, и разность оснований. Последнее равно 6 дм, это известно из условия. Тогда d будет равняться квадратному корню из (64 + 36), то есть из 100. Так найдена еще одна боковая сторона, равная 10 дм.

Сумму оснований можно найти из формулы для площади. Она будет равна удвоенному значению площади, разделенному на высоту. Если считать, то получается 240 / 8. Значит, сумма оснований — это 30 дм. С другой стороны, их разность равна 6 дм. Объединив эти уравнения, можно сосчитать оба основания:

а + b = 30 и а — b = 6.

Можно выразить а как (b + 6), подставить его в первое равенство. Тогда получится, что 2b будет равняться 24. Поэтому просто b окажется 12 дм.

Тогда последняя сторона а равна 18 дм.

Ответ. Стороны прямоугольной трапеции: а = 18 дм, b = 12 дм, с = 8 дм, d = 10 дм.

Задача №2

Условие. Дана прямоугольная трапеция. Ее большая боковая сторона равняется сумме оснований. Ее высота имеет длину 12 см. Построен прямоугольник, стороны которого равны основаниям трапеции. Необходимо вычислить площадь этого прямоугольника.

Решение. Начать нужно с искомого. Нужная площадь определится как произведение a и b. Обе эти величины не известны.

Потребуется использовать дополнительные равенства. Одно из них построено на утверждении из условия: d = а + b. Необходимо воспользоваться третьей формулой для этой стороны, которая дана выше. Получится: d2 = с2 + (a – b)2 или (a + b)2 = с2 + (a – b)2.

Необходимо сделать преобразования, подставив вместо с его значение из условия — 12. После раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых получается, что 144 = 4 ab.

В начале решения шла речь о том, что а*b дает искомую площадь. Поэтому в последнем выражении можно заменить это произведение на S. Простой расчет даст значение площади. S = 36 см2.

Ответ. Искомая площадь 36 см2.

Задача №3

Условие. Площадь прямоугольной трапеции 150√3 см². Острый угол равняется 60 градусам. Такое же значение имеет угол между маленьким основанием и меньшей диагональю. Нужно вычислить меньшую диагональ.

Решение. Из свойства углов трапеции получается, что ее тупой угол равен 120º. Тогда диагональ делит его на равные, потому что одна его часть уже 60 градусов. Тогда и угол между этой диагональю и вторым основанием тоже 60 градусов. То есть треугольник, образованный большим основанием, наклонной боковой стороной и меньшей диагональю, является равносторонним. Таким образом, искомая диагональ будет равна а, как и боковая сторона d = а.

Теперь нужно рассмотреть прямоугольный треугольник. В нем третий угол равен 30 градусам. Значит катет, лежащий против него, равен половине гипотенузы. То есть меньшее основание трапеции равно половине искомой диагонали: b = a/2. Из него же нужно найти высоту, равную боковой стороне, перпендикулярной основаниям. Сторона с здесь катет. Из теоремы Пифагора:

с = (a/2) * √3.

Теперь осталось только подставить все величины в формулу площади:

150√3 = (a + a/2) * (a/2 * √3) / 2.

Решение этого уравнения дает корень 20

Ответ. Меньшая диагональ имеет длину 20 см.

www.syl.ru

равнобедренная и прямоугольная. Площадь трапеции

Трапеция – это выпуклый четырёхугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны друг другу, а две другие не параллельны. Параллельные стороны трапеции называются основаниями, а две другие – боковыми сторонами или боками.

Отрезок, перпендикулярный основаниям трапеции, называется высотой. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется средней линией.

Трапеция можеть быть равнобедренной или прямоугольной. Равнобедренная (или равнобокая) трапеция – это трапеция, у которой боковые стороны равны. Прямоугольная трапеция – это трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям.

Площадь трапеции

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.

Формула площади трапеции:

где S – это площадь трапеции, a и b – основания трапеции, h – высота трапеции.

Доказательство. Разделим трапецию на два треугольника, проведя диагональ BD. Получилось два треугольника ΔABD и ΔBCD, имеющих одинаковую высоту – h и основания a и b:

Площади этих треугольников будут вычисляться по следующим формулам:

S1 1 ah,           S2 1 bh
2 2

Площадь трапеции будет равна сумме площадей треугольников, из которых она состоит, следовательно:

naobumium.info

Площадь прямоугольной трапеции | Треугольники

Площадь прямоугольной трапеции можно найти по любой из формул для площади произвольной трапеции. Некоторые из общих формул могут быть упрощены на основании свойств прямоугольной трапеции.

I. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.

Площадь прямоугольной трапеции ABCD,

AD∥BC,

   

равна

   

Так как меньшая боковая сторона прямоугольной трапеции перпендикулярна основаниям, то она равна высоте трапеции, то есть

   

Если обозначить AD=a, BC=b, CF=AB=h, то формула площади прямоугольной трапеции через основания и высоту (меньшую боковую сторону):

   

II. Площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту.

Если MN — средняя линия прямоугольной трапеции ABCD,

   

то площадь

   

Если обозначить среднюю линию MN=m, меньшую боковую сторону AB=h, получим формулу для нахождения площади прямоугольной трапеции через среднюю линию:

   

III. Площадь трапеции равна половине произведения диагоналей трапеции на синус угла между ними.

Для прямоугольной

трапеции

ABCD,

AD∥BC,

   

Так как sin(180º-α)=sin α, то также 

   

Если AC=d1, BD=d2, ∠COD=φ, то

   

В частности, если диагонали трапеции перпендикулярны, то

   

 

VI. Площадь трапеции равна произведению её полупериметра на радиус вписанной окружности.

   

Так как в трапецию можно вписать окружность, то

AD+BC=AB+CD=p. Следовательно,

   

или

   

Обозначив AD=a, BC=b, CD=c, AB=h=2r, получим формулы площади прямоугольной трапеции через радиус вписанной окружности:

   

   

Если в трапецию вписана окружность, площадь трапеции также можно найти как удвоенное произведение радиуса и средней линии.  Формула

   

Если в прямоугольную трапецию вписана окружность, ее площадь равна произведению оснований.

   

или

   

www.treugolniki.ru

Все формулы боковых сторон прямоугольной трапеции


1. Формула боковой стороны (с) прямоугольной трапеции через другие стороны и угол при нижнем основании

a — нижнее основание

b — верхнее основание

d — боковая сторона

α — угол при нижнем основании

h — высота трапеции

c — боковая сторона под прямым углом к основаниям

 

 

Формулы длины боковой стороны (с) :

 



 

2. Формулы боковой стороны (с) прямоугольной трапеции через диагонали  и угол между ними

 

a — нижнее основание

b — верхнее основание

d1 , d2 — диагонали трапеции

α , β — углы между диагоналями

c — боковая сторона под прямым углом к основаниям

 

 

Формулы длины боковой стороны (с):


 

3. Формулы боковой стороны (с) прямоугольной трапеции через площадь

 

a — нижнее основание

b — верхнее основание

m — средняя линия трапеции

c — боковая сторона под прямым углом к основаниям

 

 

Формула длины боковой стороны (с) :


 

4. Формулы боковой стороны (d) прямоугольной трапеции через другие стороны и угол при нижнем основании

a — нижнее основание

b — верхнее основание

c — боковая сторона под прямым углом к основаниям

α — угол при нижнем основании

h — высота трапеции

d — боковая сторона

 

 

Формулы длины боковой стороны (d) :


 

5. Формула боковой стороны (d) прямоугольной трапеции через площадь

 

a — нижнее основание

b — верхнее основание

m — средняя линия трапеции

α — угол при нижнем основании

d — боковая сторона

 

 

Формула длины боковой стороны (d) :



 

Формулы площади произвольной трапеции

Формулы площади равнобедренной трапеции

Формула периметра трапеции

Все формулы по геометрии

www-formula.ru

Трапеция. Свойства и элементы трапеции

Виды трапеций

Равнобедренная трапеция — это вид трапеции с равными боковыми сторонами.

Также встречаются такие названия, как равнобокая или равнобочная.

Прямоугольная трапеция — это трапеция, у которой углы при боковой стороне прямые.

Элементы трапеции

a, b — основания трапеции (a параллельно b),

m, n — боковые стороны трапеции,

d1, d2 — диагонали трапеции,

h — высота трапеции (отрезок, соединяющий основания и при этом перпендикулярен им),

MN — средняя линия (отрезок, соединяющий середины боковых сторон).

Площадь трапеции

  1. Через полусумму оснований a, b и высоту h: S = \frac{a + b}{2}\cdot h
  2. Через среднюю линию MN и высоту h: S = MN\cdot h
  3. Через диагонали d1, d2 и угол (\sin \varphi) между ними: S = \frac{d_{1} d_{2} \sin \varphi}{2}

Свойства трапеции

Средняя линия трапеции

Средняя линия параллельна основаниям, равна их полусумме и разделяет каждый отрезок с концами, находящимися на прямых, которые содержат основания, (к примеру, высоту фигуры) пополам:

MN || a, MN || b, MN = \frac{a + b}{2}

Сумма углов трапеции

Сумма углов трапеции, прилежащих к каждой боковой стороне, равна 180^{\circ}:

\alpha + \beta = 180^{\circ}

\gamma + \delta =180^{\circ}

Равновеликие треугольники трапеции

Равновеликими, то есть имеющими равные площади, являются отрезки диагоналей и треугольники AOB и DOC, образованные боковыми сторонами.

Подобие образованных треугольников трапеции

Подобными треугольниками являются AOD и COB, которые образованы своими основаниями и отрезками диагоналей.

\triangle AOD \sim \triangle COB

Коэффициент подобия k находится по формуле:

k = \frac{AD}{BC}

Причем отношение площадей этих треугольников равно k^{2}.

Отношение длин отрезков и оснований

Каждый отрезок, соединяющий основания и проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции, поделен этой точкой в отношении:

\frac{OX}{OY} = \frac{BC}{AD}

Это будет являться справедливым и для высоты с самими диагоналями.

Описанная около трапеции окружность

Каждая равнобокая трапеция может содержать описанную окружность. Только равнобокую трапецию возможно вписать в окружность.

Вписанная в трапецию окружность

Треугольники AOB и DOC являются прямоугольными, если трапеция ABCD описана около окружности. Центром же вписанной окружности будет являться точка O.

Опущенные на гипотенузы, высоты этих треугольников, тождественны радиусу вписанной окружности, а высота трапеции тождественна диаметру вписанной окружности.

academyege.ru

Оставить комментарий

avatar
  Подписаться  
Уведомление о