Равенство треугольников по трем сторонам – Третий признак равенства треугольников | Треугольники

Третий признак равенства треугольников | Треугольники

Теорема

(Третий признак равенства треугольников — по трём сторонам)

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Дано:

ΔABC,

ΔA1B1C1,

AB=A1B1, AC=A1C1, BC=B1C1.

Доказать:

ΔABC= ΔA1B1C1

Доказательство:

Приложим треугольник A1B1C1 к треугольнику ABC так, чтобы

  • вершина A1 совместилась с вершиной A,
  • вершина B1 совместилась с вершиной B,
  • точки C1 и C лежали по разные стороны от прямой AB.

При этом возможны три случая взаимного расположения луча CC1 и угла ACB.

I. Луч CC1 проходит внутри угла ACB.

Проведём отрезок CC1.

По условию AC=A1C1 и BC=B1C1, поэтому треугольники ACC1 и BCC1

— равнобедренные с основанием CC1.

По свойству равнобедренного треугольника, ∠ACC1=∠AC1C и ∠BCC1=∠BC1C.

Если к равным углам прибывать равные углы, то получим равные углы:

Таким образом, ∠ACB=∠AC1B.

Точки A1 и A, B1 и B совмещены, то есть ∠AC1B и ∠A1C1B1 — один и тот же угол.

Для треугольников ABC и A1B1C1 имеем:

AC=A1C1, BC=B1C1 (по условию), ∠ACB=∠A1C1B1 (по доказанному).

Следовательно, ΔABC= ΔA1B1C1 (по 1 признаку равенства треугольников).

 

II. Луч CC1 проходит внутри угла ACB.

Так как AC=A1C1 и BC=B1C1, треугольники ACC1 и BCC1 — равнобедренные с основанием CC1 и ∠ACC1=∠AC1C и ∠BCC1=∠BC1C (как углы при основании).

Если из равных углов вычесть равные углы, то получим равные углы:

Таким образом, ∠ACB=∠AC1B и ΔABC= ΔA1B1C1 (по 1 признаку равенства треугольников).

 

III. Луч CC1 совпадает со стороной угла ACB.

По условию BC=B1C1, поэтому треугольник BCC1 — равнобедренный с основанием CC1.

Отсюда ∠C1=∠C (как углы при основании) и ΔABC= ΔA1B1C1 (по 1 признаку равенства треугольников).

Что и требовалось доказать.

www.treugolniki.ru

Третий признак равенства треугольников / Треугольники / Справочник по геометрии 7-9 класс

  1. Главная
  2. Справочники
  3. Справочник по геометрии 7-9 класс
  4. Треугольники
  5. Третий признак равенства треугольников

Теорема

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие
треугольники равны

Пример:

ABC = A1B1C1, так как AC = A1C1, AB =A1B1 и  BC =B1C1.

Из данной теоремы следует, что треугольник - жесткая фигура, т.е. фигура, не подверженная деформации.


Доказательство:

Дано: ABC, A1B1C1, AC = A1

C1, AB =A1B1, BC =B1C1.

Доказать: ABC = A1B1C1

Доказательство:

Приложим ABC к A1B1C1 так, чтобы вершина A совместилась с вершиной A1, вершина B - с вершиной B1, а вершины C и C1 оказались по разные стороны от прямой AB (A1B1).

1. Луч CC1 проходит внутри A1C1B1.

2. Луч CC1 совпадает с одной из сторон A1C1B1.

3. Луч CC1 проходит вне A1C1B1.(обратите внимание, что, несмотря на то, что изображения в п.2 и в п.3 похожи, эти два случая для различных треугольников)

Рассмотрим последний

случай (остальные доказываются аналогично): Поскольку по условию теоремы AC = A1C1, BC =B1C1, то CB1C1 и CA1C1 - равнобедренные. По теореме о свойстве углов равнобедренного треугольника B1CC1 = B1C1C, A1C
C1
= A1C1C. Следовательно, B1CA1 = B1C1A1 (B1CA1 = B1CC1 A1CC1
B1C1C - A1C1= B1C1A1). Таким образом, AC = A1C1, BC = B1C1, B1CA1 = B1C1A, а из этого следует,что
ABC = A1B1C1 по I признаку равенства треугольников, что и требовалось доказать.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Треугольник

Равенство треугольников

Первый признак равенства треугольников

Перпендикуляр к прямой

Медианы треугольника

Биссектрисы треугольника

Высоты треугольника

Равнобедренный треугольник

Свойства равнобедренного треугольника

Второй признак равенства треугольников

Окружность

Построения циркулем и линейкой

Треугольники

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 135, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 153, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 155, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 160, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 172, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 175, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 247, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 15, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 651, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1243, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник


© budu5.com, 2019

Пользовательское соглашение

Copyright

budu5.com

Конспект "Треугольник. Равенство треугольников" - УчительPRO

«Треугольник. Равенство треугольников»



Треугольник определение

Треугольник — фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами, а отрезки — сторонами.

Треугoльник — жесткая фигура. Это свойство используют при строительстве мостовых арок, конструировании подъемных кранов и т.д. Свойства треугольника системно изложены в «Началах» Эвклида. Знак для обозначения треугольника еще в I в. н.э. применил древнегреческий учений Герон, а знак Δ применяется с IV в. н.э.

виды треугольников

 

Медиана, биссектриса и высота треугольника

Медиана, биссектриса и высота треугольника


Равные треугольники

равенство треугольников

Аксиома существования треугольника, равного данному.
Каким бы ни был треугольник, существует треугольник, равный ему в заданном расположении относительно данной полупрямой.

Свойства равных треугольников
1. В равных треугольниках соответствующие стороны равны.
2. В равных треугольниках соответствующие углы равны.
3. Периметры равных треугольников равны.
4. Площади равных треугольников равны.
5. Против равных сторон лежат равные углы.
6. Против равных углов лежат равные стороны.

Признаки равенства треугольников

признаки равенства треугольников


Дополнительные признаки равенства
• Если две стороны и медиана, проведенная к третьей стороне треугольника, соответственно равны двум сторонам и медиане, проведенной к третьей стороне другого треугольника, такие треугольники равны.
• Если два угла и высота,проведенная к стороне, к которой прилегают эти углы, одного треугольника, соответственно равны двум углам и высоте, проведенной к стороне, к которой прилегают эти углы, другого треугольника, то такие треугольники равны.
• Если сторона, высота и медиана, проведенные к стороне одного треугольника, соответственно равны стороне, высоте и медиане, проведенным к этой стороне другого треугольника, то эти треугольники равны.
• Если медиана и углы, на которые она делит угол, одного треугольника, соответственно равны медиане и углам,на которые она делит угол, другого треугольника, эти треугольники равны.


Это конспект по теме «Треугoльник. Равенство треугольников». Выберите дальнейшие действия:

 

uchitel.pro

Признаки равенства треугольников [wiki.eduVdom.com]

Рис.1

Два треугольника называются равными, если их можно совместить наложением. На рисунке 1 изображены равные треугольники ABC и А1В1С1. Каждый из этих треугольников можно наложить на другой так, что они полностью совместятся, т. е. попарно совместятся их вершины и стороны. Ясно, что при этом совместятся попарно и углы этих треугольников.

Таким образом, если два треугольника равны, то элементы (т. е. стороны и углы) одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника. Отметим, что в равных треугольниках против соответственно равных сторон (т. е. совмещающихся при наложении) лежат равные углы, и обратно: против соответственно равных углов лежат равные стороны.

Так, например, в равных треугольниках ABC и A1B1C1, изображенных на рисунке 1, против соответственно равных сторон АВ и А1В1 лежат равные углы С и С1. Равенство треугольников ABC и А1В1С1 будем обозначать так: Δ ABC = Δ А1В1С1. Оказывается, что равенство двух треугольников можно установить, сравнивая некоторые их элементы.

Рис.2

Теорема 1. Первый признак равенства треугольников. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны (рис.2).

Доказательство. Рассмотрим треугольники ABC и A1B1C1, у которых АВ = A1B1, АС = A1C1 ∠ А = ∠ А1 (см. рис.2). Докажем, что Δ ABC = Δ A1B1C1.

Так как ∠ А = ∠ А1, то треугольник ABC можно наложить на треугольник А1В1С1 так, что вершина А совместится с вершиной А1, а стороны АВ и АС наложатся соответственно на лучи А1В1 и A1C1. Поскольку АВ = A1B1, АС = А1С1, то сторона АВ совместится со стороной А1В1 а сторона АС — со стороной А1C1; в частности, совместятся точки В и В1, С и C1. Следовательно, совместятся стороны ВС и В1С1. Итак, треугольники ABC и А1В1С1 полностью совместятся, значит, они равны.

Аналогично методом наложения доказывается теорема 2.

Рис.3

Теорема 2. Второй признак равенства треугольников. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 34).

Замечание. На основе теоремы 2 устанавливается теорема 3.

Теорема 3. Сумма любых двух внутренних углов треугольника меньше 180°.

Из последней теоремы вытекает теорема 4.

Теорема 4. Внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.

Теорема 5. Третий признак равенства треугольников. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны (подробнее).



Пример 1. В треугольниках ABC и DEF (рис. 4)

Рис.4

∠ А = ∠ Е, АВ = 20 см, АС = 18 см, DE = 18 см, EF = 20 см. Сравнить треугольники ABC и DEF. Какой угол в треугольнике DEF равен углу В?

Решение. Данные треугольники равны по первому признаку. Угол F треугольника DEF равен углу В треугольника ABC, так как эти углы лежат против соответственно равных сторон DE и АС.


Пример 2. Отрезки АВ и CD (рис. 5) пересекаются в точке О, которая является серединой каждого из них. Чему равен отрезок BD, если отрезок АС равен 6 м?

Рис.5

Решение. Треугольники АОС и BOD равны (по первому признаку): ∠ АОС = ∠ BOD (вертикальные), АО = ОВ, СО = OD (по условию).
Из равенства этих треугольников следует равенство их сторон, т. е. АС = BD. Но так как по условию АС = 6 м, то и BD = 6 м.


Пример 3. В треугольниках ABC и DEF (см. рис. 4) АВ = EF, ∠A = ∠E, ∠B = ∠F.

Рис.4

Сравнить эти треугольники. Какие стороны в треугольнике DEF равны соответственно сторонам ВС и СА?

Решение. Треугольники ABC и DEF равны по второму признаку. Стороны DF и DE треугольника DEF равны соответственно сторонам ВС и СА треугольника ABC, так как стороны DF и ВС (DE и СА) лежат против равных углов Е и A (F и В).


Пример 4. На рисунке 6 углы DAB и СВА, CAB и DBA равны, СА = 13 м. Найти DB.

Решение. Треугольники АСВ и ADB имеют одну общую сторону АВ и по два равных угла, которые прилежат к этой стороне. Следовательно, треугольники АСВ и ADB равны (по второму признаку). Из равенства этих треугольников следует равенство сторон BD и АС, т. е. BD = 13 м.



wiki.eduvdom.com

Второй и третий признаки равенства треугольников — урок. Геометрия, 7 класс.

Второй признак равенства треугольников

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Pazime2.png

 

MN=PR;∡N=∡R;∡M=∡P.

Как и в доказательстве первого признака, нужно убедиться, достаточно ли этого для равенства треугольников, можно ли их полностью совместить?


1. Так как MN=PR, то эти отрезки совмещаются, если совместить их конечные точки.

 

2. Так как ∡N=∡R и ∡M=∡P, то лучи \(MK\) и \(NK\) наложатся соответственно на лучи \(PT\) и \(RT\).

 

3. Если совпадают лучи, то совпадают точки их пересечения \(K\) и \(T\).

 

4. Совмещены все вершины треугольников, то есть ΔMNK и ΔPRT полностью совместятся, значит, они равны.

Третий признак равенства треугольников

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Pazime3.png

MN=PR;KN=TR;MK=PT.

 

Опять попробуем совместить треугольники ΔMNK и ΔPRT наложением и убедиться, что соответственно равные стороны гарантируют и равенство соответственных углов этих треугольников, и они полностью совпадут.

Pazime3_pierad.png

 

Совместим, например, одинаковые отрезки \(MK\) и \(PT\). Допустим, что точки \(N\) и \(R\) при этом не совмещаются.


Пусть \(O\) — середина отрезка \(NR\). Соответственно данной информации MN=PR, KN=TR. Треугольники \(MNR\) и \(KNR\) равнобедренные с общим основанием \(NR\).

 

Поэтому их медианы \(MO\) и \(KO\) являются высотами, значит, перпендикулярны \(NR\). Прямые \(MO\) и \(KO\) не совпадают, так как точки \(M\), \(K\), \(O\) не лежат на одной прямой. Но через точку \(O\) прямой \(NR\) можно провести только одну перпендикулярную ей прямую. Мы пришли к противоречию.

 

Доказано, что должны совместиться и вершины \(N\) и \(R\).
  

Третий признак позволяет назвать треугольник очень сильной, устойчивой фигурой, иногда говорят, что треугольник — жёсткая фигура. Если длины сторон не меняются, то углы тоже не меняются. Например, у четырёхугольника такого свойства нет. Поэтому разные поддержки и укрепления делают треугольными.

 

 

Но своеобразную устойчивость, стабильность и совершенство числа \(3\) люди оценивали и выделяли давно.

 

Об этом говорят сказки.

Там мы встречаем «Три медведя», «Три ветра», «Три поросёнка», «Три товарища», «Три брата», «Три счастливца», «Трое умельцев», «Три царевича», «Три друга», «Три богатыря» и др.

 

Там даются «три попытки», «три совета», «три указания», «три встречи», исполняются «три желания», нужно потерпеть «три дня», «три ночи», «три года», пройти через «три государства», «три подземных царства», выдержать «три испытания», проплыть через «три моря».

 

T5.jpg 

И в заключение ещё раз вспомним все признаки равенства треугольников.

 

1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

  

2. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

  

3. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

www.yaklass.ru

Признаки равенства треугольников

Два треугольника называются равными, если три стороны и три угла одного треугольника равны трём сторонам и трём углам другого:

равные треугольники

Первый признак

Если две стороны и угол, заключённый между ними, одного треугольника равны двум сторонам и углу, заключённому между ними, другого треугольника, то они равны:

первый признак равенства треугольников: по двум сторонам и углу между ними

Второй признак

Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то треугольники равны:

второй признак равенства треугольников: по стороне и прилежащим к ней углам

Третий признак

Если три стороны одного треугольника равны трём сторонам другого треугольника, то они равны:

трейтий признак равенства треугольников: по трём сторонам

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Для прямоугольных треугольников, кроме перечисленных трёх признаков равенства, имеются ещё дополнительные признаки, так как у них у всех есть прямой угол, а все прямые углы равны между собой.

Два прямоугольных треугольника будут равны в следующих четырёх случаях:

  1. Если катеты одного треугольника равны катетам другого.
  2. Если катет и прилежащий к нему острый угол одного треугольника равны катету и прилежащему к нему острому углу другого.
  3. Если гипотенуза и острый угол одного треугольника равны гипотенузе и острому углу другого.
  4. Если гипотенуза и катет одного треугольника равны гипотенузе и катету другого.

признаки равенства прямоугольных треугольников

naobumium.info

Признаки равенства треугольников

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Содержание:

  1. Первый признак равенства треугольников (формулировка и задачи)
  2. Второй признак равенства треугольников (формулировка и задачи)
  3. Третий признак равенства треугольников (формулировка и задачи)
  4. Решение задач на применение всех признаков равенства треугольников
  5. Тест по теме

Ход урока

I. Первой признак равенства треугольников

Теорема: Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны

Задачи: Приложение 1

II. Второй признак равенства треугольников

Теорема: Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Задачи: Приложение 2

III. Третий признак равенства треугольников

Теорема: Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Задачи: Приложение 3

IV. Решение задач на применение всех признаков равенства треугольников.

Задача 1.

Дано: ∆АВС= ∆ МКР,
Периметр треугольника АВС равен 48см,
АВ=13см,
ВС=20см,
АС=15см.
  Найдите стороны треугольника МКР.

Задача 2.

На рисунке АВ = ДС, ВК = ДМ, АМ = СК. Докажите, что ∆АДМ=∆СВК.

Задача 3.

Дан треугольник АВС равнобедренный, ВД высота. Доказать, что ∆ АВД = ∆ СВД

Задача 4.

В равнобедренном треугольнике основание относится к боковой стороне как 1:4. Найдите стороны данного треугольника, если периметр равен 33см.

Задача 5.

Дано:
АВ=ВС, АМ=NC,
DMC=BNC=90°

Доказать, что DM=EN

Задача 6.

Задача 7.

Дано: МО=ОN. Доказать, что ∆BOC- равнобедренный

Задача 8.

Внутри треугольника АВС взята точка О, такая, что угол ВОС равен углу ВОА, АО=ОС. Докажите, что:

  • Угол ВАС равен углу ВСА
  • Прямая ВО проходит через середину отрезка АС.

Задача 9.

На сторонах равнобедренного треугольника АВС (АС-основание) отмечены точки М, К, Р, соответственно принадлежащиеся сторонам АВ, ВС, АС, таким образом, что угол АМР равен углу PKC и АМ=КС. Докажите, что:

  • МР=РК
  • Прямые МК и ВР перпендикулярны.

V. Тест по данной теме.

Приложение 4.

Презентация.

urok.1sept.ru

0 comments on “Равенство треугольников по трем сторонам – Третий признак равенства треугольников | Треугольники

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *