Формула синуса в прямоугольном треугольнике – Замечательные отношения в прямоугольном треугольнике

Замечательные отношения в прямоугольном треугольнике

Категория: ПланиметрияСправочные материалы

Елена Репина 2013-05-22 2013-08-04

  На всякий случай, уточним, что гипотенузой называется та сторона треугольника, что лежит против угла в 90 градусов, две оставшиеся стороны называются катетами прямоугольного треугольника.

Подробнее про прямоугольный треугольник здесь.


Синусом угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинусом угла в прямоугольном треугольнике называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенсом угла в прямоугольном треугольнике  называется отношение  противолежащего катета к прилежащему.

Котангенсом угла в прямоугольном треугольнике  называется отношение  прилежащего катета к противолежащему.

Бывает (и на ЕГЭ, ГИА), что приходится иметь дело с косинусами, синусами и тангенсами внешних углов треугольника.  Формулы приведения  позволяют увидеть, что есть еще и вот такая связь между смежными углами (помимо того, что их сумма равна 180):

 Смотрите подборку задач на применение указанных соотношений в статье «Прямоугольный треугольник. Вычисление длин и углов» часть I, часть II.

Автор: egeMax | комментариев 8 | Метки: шпаргалки-таблицы

egemaximum.ru

Тригонометрические функции произвольных углов. Теоремы синусов и косинусов

Тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс, котангенс) однозначно определяют острый угол. Это значит, что если нам известно значение хотя бы одной из этих функций, то мы можем найти и сам острый угол, и значение оставшихся трех тригонометрических функций (см. рис. 1).

Рис. 1. Взаимосвязь тригонометрических функций

Взаимосвязь тригонометрических функций:

Например, глядя на определения тангенса и котангенса, легко заметить, что:

Потому что , и наоборот.

Можно переписать в эквивалентном виде:

Если мы знаем, что , то сразу скажем: . Нам даже не надо искать само значение угла.

Кроме того, несложно заметить, что:

И аналогично:

Мы уже почти научились по значению одной тригонометрической функции угла находить остальные. Нужно только связать между собой синус и косинус.

Вспомним, что для прямоугольного треугольника верна теорема Пифагора:

Чтобы перейти к формулам для синуса и косинуса, разделим обе части этого равенства на . Получим:

Откуда, по определению:

Можно получить и другие формулы, связывающие тригонометрические функции одного угла. Например, если мы хотим связать тангенс и косинус, то, взяв формулу

, поделим обе части на , получим:

Откуда:

Аналогично можно получить формулу:

Полученные нами формулы называются основными тригонометрическими тождествами. С их помощью можно, зная значение одной из тригонометрических функций острого угла, найти значения трех остальных. С примером решения такой задачи можно ознакомиться ниже.


 

Вычисление значений тригонометрических функций

Предположим, что нам известно значение синуса острого угла:

Найдем значения остальных тригонометрических функций этого угла.

Зная синус, несложно найти косинус, используя формулу:

Подставляем, получаем:

Поскольку косинус острого угла, по определению, – это отношение длин двух сторон, то он может принимать только положительные значения. Значит,

Теперь найти тангенс и котангенс не составит проблем:

Можно было действовать и по-другому, например найти котангенс через синус, используя формулу:

Потренируйтесь самостоятельно находить значения остальных тригонометрических функций острого угла по известному тангенсу или котангенсу.


Возникает вопрос: зачем нужно рассматривать целых четыре функции, если можно использовать одну, а все остальные при необходимости выражать через эту одну?

Конечно, можно. Вопрос только в удобстве. Если какая-то конструкция часто используется, то ее удобно обозначить отдельно, а также вывести ее свойства, чтобы использовать их при решении конкретных задач.

К примеру, длину можно было бы измерять только в метрах. Но расстояние между городами или размеры телефона в них измерять не очень удобно. Не говоря уже про размеры бактерий или расстояния между планетами. Поэтому люди используют разные единицы измерения для одной и той же величины (миллиметры, километры, дюймы, мили, световые года и т. д.) в зависимости от удобства при решении той или иной задачи (см. рис. 2).

Рис. 2. Использование различных единиц измерения

Такая же ситуация с тригонометрическими функциями – оказалось, что эти  соотношения используются настолько часто, что удобнее ввести и изучать их отдельно, чем выражать через одно.

Более того, можно ввести и другие тригонометрические функции, но они не прижились именно из-за того, что редко встречаются при решении практических задач. Подробнее о них ниже.

vetkaДругие тригонометрические функции

Наблюдательный человек заметит, что при определении тригонометрических функций мы перебрали не все комбинации (см. рис. 3): можно гипотенузу разделить на каждый из катетов.

Рис. 3. Взаимосвязь тригонометрических функций

Взаимосвязь тригонометрических функций:

Действительно, можно ввести еще две функции – секанс и косеканс:

Несложно заметить, что мы получили функции, обратные синусу и косинусу.

В наше время эти функции практически не используют. Слишком просто их заменить синусом и косинусом. Кстати, по этой причине в некоторой литературе не выписываются свойства для котангенса – считается, что его проще выражать через тангенс.

На самом деле, никакой принципиальности в том, чтобы использовать именно эти, а не другие функции, нет. Просто при решении различных задач чаще встречались именно выражения, содержащие синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы, поэтому им дали отдельные названия и их подробно изучают.

Какие значения могут принимать тригонометрические функции? Рассмотрим . Поскольку мы определяли синус для острых углов прямоугольных треугольников, то угол  может принимать значение от  до . Формально, не включая эти значения. Но угол может сколь угодно близко к ним приближаться.

Зафиксируем гипотенузу  и уменьшим угол  почти до нуля (см. рис. 4).

Рис. 4. Уменьшенный почти до  угол  при зафиксированной гипотенузе

Почти до нуля уменьшится и катет . А вместе с ним и :

Поэтому можем определить:

Если начать увеличивать  (см. рис. 5), то будет увеличиваться и катет , а вместе с ним будет увеличиваться и значение синуса.

Рис. 5. Увеличенный почти до  угол

Чем ближе к  будет угол, тем ближе катет  будет к гипотенузе . Значит:

Поэтому можем определить:

Значение синуса не может превышать  – это его максимальное значение. Больше синус быть не может.

interneturok.ru

Тригонометрия для чайников. Урок1. Тригонометрия с нуля

Смотрите бесплатные видео-уроки по теме «Тригонометрия» на канале Ёжику Понятно.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

 

Рассмотрим прямоугольный треугольник. Для каждого из острых углов найдем прилежащий к нему катет и противолежащий.

 

Синус угла – отношение противолежащего катета к гипотенузе.

sinα=Противолежащий катетгипотенуза

Косинус угла – отношение прилежащего катета к гипотенузе.

cosα=Прилежащий катетгипотенуза

Тангенс угла – отношение противолежащего катета к прилежащему (или отношение синуса к косинусу).

tgα=Противолежащий катетПрилежащий катет

Котангенс угла – отношение прилежащего катета к противолежащему (или отношение косинуса к синусу).

ctgα=Прилежащий катетПротиволежащий катет

 

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, угол C равен 90°:

sin∠A=CBAB

cos∠A=ACAB

tg∠A=sin∠Acos∠A=CBAC

ctg∠A=cos∠Asin∠A=ACCB

sin∠B=ACAB

cos∠B=BCAB

tg∠B=sin∠Bcos∠B=ACCB

ctg∠B=cos∠Bsin∠B=CBAC

 

Тригонометрия на окружности — это довольно интересная абстракция в математике. Если понять основной концепт так называемого «тригонометрического круга», то вся тригонометрия будет вам подвластна. В описании к видео есть динамическая модель тригонометрического круга.

Тригонометрический круг – это окружность единичного радиуса с центром в начале координат. 

Такая окружность пересекает ось х в точках (−1;0) и (1;0), ось y в точках (0;−1) и (0;1)

На данной окружности будет три шкалы отсчета – ось x, ось y и сама окружность, на которой мы будем откладывать углы.

Углы на тригонометрической окружности откладываются от точки с координатами (1;0), – то есть от положительного направления оси x, против часовой стрелки. Пусть эта точка будет называться S (от слова start). Отметим на окружности точку A. Рассмотрим ∠SOA, обозначим его за α. Это центральный угол, его градусная мера равна дуге, на которую он опирается, то есть ∠SOA=α=∪SA.

 

Давайте найдем синус и косинус этого угла. До этого синус и косинус мы искали в прямоугольном треугольнике, сейчас будем делать то же самое. Для этого опустим перпендикуляры из точки A на ось x (точка B) и на ось игрек (точка C).

 

Отрезок OB является проекцией отрезка OA на ось x, отрезок OC является проекцией отрезка OA на ось y.

Рассмотрим прямоугольный треугольник AOB:

cosα=OBOA=OB1=OB

sinα=ABOA=AB1=AB

Поскольку OCAB – прямоугольник, AB=CO.

Итак, косинус угла – координата точки A по оси x (ось абсцисс), синус угла – координата точки A по оси y (ось ординат).

 

Давайте рассмотрим еще один случай, когда угол α — тупой, то есть больше 90°:

 

Опускаем из точки A перпендикуляры к осям x и y. Точка B в этом случае будет иметь отрицательную координату по оси x.Косинус тупого угла отрицательный.

Можно дальше крутить точку A по окружности, расположить ее в III или даже в IV четверти, но мы пока не будем этим заниматься, поскольку в курсе 9 класса рассматриваются углы от 0° до 180°. Поэтому мы будем использовать только ту часть окружности, которая лежит над осью x.  (Если вас интересует тригонометрия на полной окружности, смотрите видео на канале). Отметим на этой окружности углы 0°,30°,45°,60°,90°,120°,135°,150°,180°. Из каждой точки на окружности, соответствующей углу, опустим перпендикуляры на ось x и на ось y.

 

Координата по оси x – косинус угла, координата по оси y – синус угла.

Пример:

cos150°=−32

sin150°=12

 

Ещё одно замечание.

Синус тупого угла – положительная величина, а косинус – отрицательная.

Тангенс – это отношение синуса к косинусу. При делении положительной величины на отрицательную результат отрицательный. Тангенс тупого угла отрицательный.

Котангенс – отношение косинуса к синусу. При делении отрицательной величины на положительную результат отрицательный. Котангенс тупого угла отрицательный.

 

sin2α+cos2α=1

Данное тождество – теорема Пифагора в прямоугольном треугольнике OAB:

 

AB2+OB2=OA2

sin2α+cos2α=R2

sin2α+cos2α=1

 

30° 45° 60° 90°
sinα 0 12 22 32 1
cosα 1 32 22 12 0
tgα 0 33 1 3 нет
ctgα нет 3 1 33 0

 

Тригонометрия на окружности имеет некоторые закономерности. Если внимательно рассмотреть данный рисунок,

можно заметить, что:

sin180°=sin(180°−0°)=sin0°

sin150°=sin(180°−30°)=sin30°

sin135°=sin(180°−45°)=sin45°

sin120°=sin(180°−60°)=sin60°

 

cos180°=cos(180°−0°)=−cos0°

cos150°=cos(180°−30°)=−cos30°

cos135°=cos(180°−45°)=−cos45°

cos120°=cos(180°−60°)=−cos60°

 

Рассмотрим тупой угол β:

 

Для произвольного тупого угла β=180°−α всегда будут справедливы следующие равенства:

sin(180°−α)=sinα

cos(180°−α)=−cosα

tg(180°−α)=−tgα

ctg(180°−α)=−ctgα

 

В произвольном треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.

 

asin∠A=bsin∠B=csin∠C

 

Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной вокруг данного треугольника окружности.

 

asin∠A=bsin∠B=csin∠C=2R

 

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

 

a2=b2+c2−2bc⋅cos∠A

b2=a2+c2−2ac⋅cos∠B

c2=a2+b2−2ab⋅cos∠C

 

Модуль геометрия: задания, связанные с тригонометрией.

 

Скачать домашнее задание к уроку 1.

 

epmat.ru

Синус косинус

Синус косинус, определение. Друзья! В прошлой статье, где были рассмотрены задачи на решение прямоугольного треугольника, я пообещал изложить приём запоминания определений синуса и косинуса. Используя его, вы всегда быстро вспомните – какой катет относится к гипотенузе (прилежащий или противолежащий). Решил в «долгий ящик не откладывать», необходимый материал ниже, прошу ознакомиться 😉

Дело в том, что я не раз наблюдал, как учащиеся 10-11 классов с трудом вспоминают данные определения. Они прекрасно помнят, что катет относится к гипотенузе, а вот какой из них — забывают и путают. Цена ошибки, как вы знаете на экзамене – это потерянный бал. 

Информация, которую я представлю непосредственно к математике не имеет никакого отношения. Она связана с образным мышлением, и с приёмами словесно-логической  связи. Именно так, я сам, раз и на всегда запомнил данные определения. Если вы их всё же забудете, то при помощи представленных приёмов всегда легко  вспомните.

Напомню  определения синуса и косинуса  в прямоугольном треугольнике:

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике —   это отношение прилежащего катета к гипотенузе:

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:

Итак, какие ассоциации у вас вызывает слово косинус?

Наверное, у каждого свои 😉   Запоминайте связку:

Таким образом, у вас сразу в памяти возникнет выражение – 

«… отношение ПРИЛЕЖАЩЕГО катета к гипотенузе».

Проблема с определением косинуса решена.

Если нужно вспомнить определение синуса в прямоугольном треугольнике, то вспомнив определение косинуса, вы без труда установите, что синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Ведь катетов всего два, если прилежащий катет «занят» косинусом, то синусу остаётся только противолежащий.

Как быть с тангенсом и котангенсом? Путаница та же. Учащиеся знают, что это отношение катетов, но проблема вспомнить какой к которому относится – то ли противолежащий к прилежащему, то ли наоборот.

Определения:

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике  — это отношение противолежащего катета к прилежащему:

Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике  — это отношение прилежащего катета к противолежащему:

Как запомнить? Есть два способа. Один так же  использует  словесно-логическую связь, другой – математический.

СПОСОБ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Есть такое  определение – тангенсом острого угла называется отношение синуса угла к его косинусу:

*Запомнив формулу, вы всегда сможете определить, что тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике  — это отношение противолежащего катета к прилежащему.

Аналогично. Котангенсом острого угла называется отношение косинуса угла к его синусу:

Итак! Запомнив указанные формулы вы всегда сможете определить, что:

— тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике  — это отношение противолежащего катета к прилежащему

— котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике  — это отношение прилежащего катета к противолежащему.

СПОСОБ СЛОВЕСНО-ЛОГИЧЕСКИЙ

О тангенсе. Запомните связку:

То есть если потребуется вспомнить определение тангенса, при помощи данной  логической связи,  вы без труда вспомните, что это

«… отношение противолежащего катета к прилежащему» 

Если речь зайдёт о котангенсе, то вспомнив определение тангенса вы без труда озвучите определение котангенса –

«… отношение прилежащего катета к противолежащему»

Есть интересный приём по запоминанию тангенса и котангенса на сайте "Математический тандем", посмотрите.

СПОСОБ УНИВЕРСАЛЬНЫЙ

Можно  просто зазубрить. Но как показывает практика, благодаря словесно-логическим связкам человек запоминает информацию надолго, и не только математическую.

Надеюсь, материал был вам полезен.

С уважением, Александр Крутицких

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

matematikalegko.ru

Синус, косинус угла треугольника

Чтобы найти синус и косинус угла в прямоугольном треугольнике, нужно вспомнить определения. Синус угла равен отношению противоположного катета к гипотенузе.  Косинус угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.

 

Если у нас есть треугольник \(ABC\), рисунок выше, для которого \(С\)- прямой угол, то сторонами \(BC\) и \(AC\) будут катеты, а сторона \(AB\) - гипотенуза. Следовательно, по определению, синус угла \(ABC\) равен отношению катета \(АС\) к гипотенузе: синус угла \(ABC=\frac{AC}{AB}\)  и синус угла \(BAC=\frac{BC}{AB}\).

косинус угла \(ABC=\frac{BC}{AB}\) и косинус угла \(BAC=\frac{AC}{AB}\).

 

Чаще всего известно лишь часть данных, например катет и угол, нужно выразить неизвестную величину. Подумайте, как это сделать.

 

Пример 1. Вычислим синус по двум катетам.

Берем тот же треугольник \(ACB\) с прямым углом \(С\) в котором мы знаем катеты: \(BC = 3\), \(AC = 4\). Для вычисления синуса угла с необходимо разделить катет на гипотенузу: \(sin ∠BAC = \frac{BC} { AB}\).

Гипотенузу вычислим из теоремы Пифагора: \(AC^2+BC^2=AB^2\)  \(9+16=25\) \(AB=5\) откуда синус равен:

\(sin ∠ BAC = \frac{3}{5}\)


Пример 2. Вычислим синус угла \(ABC\) по углу\( BAC \)  30° градусов в прямоугольном треугольнике \(ACB\).

Самое главное помнить, что сумма всех углов в треугольнике равна 180 °.Найдем угол  \(ABC\):

\(180\)° \(-30\)° \(-90\)°\(=60\)°.

\(sin\) \(60\)° возьмем из табличного значения: \(\frac{ \sqrt{3}} { 2}\)

Табличные значения \(sin\) и \(cos\):

Чтобы лучше понимать значения табличные значения синуса и косинуса представим их на координатной окружности: где ось ординат \((y)\) линия синуса, ось абсцисс \((x)\) – линия косинуса. Если вы забыли значения синуса и косинуса \(90\) и \(180\) можно нарисовать рисунок и посмотреть значения, не забывая, что на первом месте стоит \(x\), на втором \(y\)   \((x,y)\);

Теорема синусов:

 

Теорема косинусов:

 

 

 

 

 

 

 

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы "Альфа". Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

myalfaschool.ru

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике - Тригонометрия

      Катеты BC и AC прямоугольного треугольника ABC (рис. 1) называют противолежащим катетом угла α и прилежащим катетом угла α соответственно.

Рис.1

      Катеты AC и BC прямоугольного треугольника ABC (рис. 2) называют противолежащим катетом угла β и прилежащим катетом угла β соответственно.

Рис.2

      Синусом угла называют дробь:

      Косинусом угла называют дробь:

      Тангенсом угла называют дробь:

      Котангенсом угла называют дробь:

      Синус, косинус, тангенс и котангенс, и их комбинации называют тригонометрическими функциями. В данном разделе справочника тригонометрические функции вводятся для острых углов. В следующем разделе даётся определение тригонометрических функций для произвольных углов.

      Для синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла α используют обозначения

sin α ,   cos α ,   tg α ,   ctg α

Рис.3

      В соответствии с рисунком 3 справедливы формулы:

    

     

      Следовательно,

   

   

      Кроме того, справедливы формулы:

sin α = cos β,      cos α = sin β,       tg α = ctg β,         ctg α = tg β,

которые можно переписать в виде:

sin α = cos (90° – α),      cos α = sin (90° – α),

tg α = ctg (90° – α),      ctg α = tg (90° – α).

      Пример. Найти тригонометрические функции углов  30°,  45°,  60°.

      Решение. Рассмотрим равносторонний треугольник ABC, сторона которого равна 2 (рис. 4), и проведем высоту BD.

Рис.4

Тогда

      Поэтому

      Кроме того

      Теперь рассмотрим прямоугольный равнобедренный треугольник ABC, катеты которого равны 1 (рис. 5).

      Тогда

      Поэтому

      Определение тригонометрических функций произвольного угла приводится в разделе справочника "Тригонометрические функции произвольного угла".

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

www.resolventa.ru

Формулы (тождества) синус, косинус, тангенс, котангенс тройного угла


Как найти,

гипотенузу или катеты в прямоугольном треугольнике.

 

a, b - катеты

c - гипотенуза

α, β - острые углы

 

Формулы для катета, (a):

 

Формулы для катета, (b):

 

 

Формулы для гипотенузы, (c):

 

Формулы сторон по теореме Пифагора, (a,b):

 




Вычислить длину неизвестной стороны через любые стороны и углы

b - сторона (основание)

a - равные стороны

α - углы при основании

β - угол образованный равными сторонами

 

 

Формулы длины стороны (основания), (b):

 

 

Формулы длины равных сторон , (a):

 




Вычислить длину стороны треугольника: по стороне и двум углам или по двум сторонам и углу.

 

 

a, b, c - стороны произвольного треугольника

α, β, γ - противоположные углы

 

 

Формула  длины через две стороны и угол (по теореме косинусов), (a):

* Внимательно, при подстановке в формулу, для тупого угла (α>90), cosα принимает отрицательное значение

 

 

Формула  длины через сторону и два угла (по теореме синусов), (a):

 




В прямоугольном треугольнике катеты, являются высотами. Ортоцентр - точка пересечения высот, совпадает с вершиной прямого угла.

 

H - высота из прямого угла

a, b - катеты

с - гипотенуза

c1 , c2 - отрезки полученные от деления гипотенузы, высотой

α, β - углы при гипотенузе

 

Формула длины высоты через стороны, (H):

 

 

Формула длины высоты через гипотенузу и острые углы, (H):

 

Формула длины высоты через катет и угол, (H):

 

Формула длины высоты через составные отрезки гипотенузы , (H):




Высота- перпендикуляр выходящий из любой вершины треугольника, к противоположной стороне (или ее продолжению, для треугольника с тупым углом).

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется - ортоцентр.

 

H - высота треугольника

a - сторона, основание

b, c - стороны

β, γ - углы при основании

p - полупериметр, p=(a+b+c)/2

R - радиус описанной окружности

S - площадь треугольника

 

Формула длины высоты через стороны, (H):

 

 

Формула длины высоты через сторону и угол, (H):

 

Формула длины высоты через сторону и площадь, (H):

 

Формула длины высоты через стороны и радиус, (H):

 

 




Медиана, отрезок |CO|, исходящий из вершины прямого угла BCA и делящий гипотенузу c, пополам.

Медиана в прямоугольном треугольнике (M), равна, радиусу описанной окружности (R).

 

M - медиана

R - радиус описанной окружности

O - центр описанной окружности

с - гипотенуза

a, b - катеты

α - острый угол CAB

 

Медиана равна радиусу и половине гипотенузы, (M):

 

 

Формула длины через катеты, (M):

 

Формула длины через катет и острый угол, (M):

 

 




Медиана - отрезок |AO|, который выходит из вершины A и делит противолежащею сторону  c пополам.

Медиана делит треугольник ABC на два равных по площади треугольника AOC и ABO.

 

 

M - медиана, отрезок |AO|

c - сторона на которую ложится медиана

a, b - стороны треугольника

γ - угол CAB

 

Формула длины медианы через три стороны, (M):

 

 

Формула длины медианы через две стороны и угол между ними, (M):




Формула для вычисления высоты = биссектрисы = медианы.

В равностороннем треугольнике: все высоты, биссектрисы и медианы, равны. Точка их пересечения, является центром вписанной окружности.

 

L - высота=биссектриса=медиана

a - сторона треугольника

 

 

Формула длины высоты, биссектрисы и медианы равностороннего треугольника, (L):

 

 

Калькулятор - вычислить, найти медиану, биссектрису, высоту

 




Формулы для вычисления высоты, биссектрисы и медианы.

В равнобедренном треугольнике: высота, биссектриса и медиана, исходящие из угла образованного равными сторонами, один и тот же отрезок.

 

L - высота = биссектриса = медиана

a - одинаковые стороны треугольника

b - основание

α - равные углы при основании

β - угол образованный равными сторонами

 

Формулы высоты, биссектрисы и медианы, через сторону и угол, (L):

 

 

 

 

Формула высоты, биссектрисы и медианы, через стороны, (L):

 




1. Найти по формулам длину биссектрисы из прямого угла на гипотенузу:

 

L - биссектриса, отрезок ME ,  исходящий из прямого угла (90 град)

a, b - катеты прямоугольного треугольника

с - гипотенуза

α - угол прилежащий к гипотенузе

 

Формула длины биссектрисы через катеты, ( L):

 

Формула длины биссектрисы через гипотенузу и угол, ( L):

 

 

2. Найти по формулам длину биссектрисы из острого угла на катет:

 

L - биссектриса, отрезок ME ,  исходящий из острого угла

a, b - катеты прямоугольного треугольника

с - гипотенуза

α, β - углы прилежащие к гипотенузе

 

Формулы длины биссектрисы через катет и угол, (L):

 

Формула длины биссектрисы через катет и гипотенузу, (L):

 




L- биссектриса, отрезок |OB|, который делит угол ABC пополам

a, b - стороны треугольника

с - сторона на которую опущена биссектриса

d, e - отрезки полученные делением биссектрисы

γ - угол ABC , разделенный биссектрисой пополам

p - полупериметр, p=(a+b+c)/2

 

Длина биссектрисы через две стороны и угол, (L):

 

Длина биссектрисы через полупериметр и стороны, (L):

 

 

Длина биссектрисы через три стороны, (L):

 

Длина биссектрисы через стороны и отрезки d, e, (L):

 

 

 

Точка пересечения всех трех биссектрис треугольника ABC, совпадает с центром О, вписанной окружности.



www-formula.ru

Оставить комментарий

avatar
  Подписаться  
Уведомление о