Интерференционная картина от двух когерентных источников: Расчет интерференционной картины от двух источников — Студопедия

Расчет интерференционной картины от двух источников — Студопедия

Расчет интерференционной картины от двух когерентных источников.

Рассмотрим две когерентные световые волны, исходящие из источников и (рис.1.11.).

Рис. 1.11.

Экран для наблюдения интерференционной картины (чередование светлых и темных полос) поместим параллельно обеим щелям на одинаковом расстоянии .Обозначим за x - расстояние от центра интерференционной картины до исследуемой точки Р на экране.

Расстояние между источниками и обозначим как d. Источники

и расположены симметрично относительно центра интерференционной картины. Из рисунка видно, что

Следовательно

и оптическая разность хода равна

Разность хода составляет несколько длин волн и всегда значительно меньше и , поэтому можем считать, что и . Тогда выражение для оптической разности хода будет иметь следующий вид:

, (1.94)

Так как расстояние от источников до экрана во много раз превосходит расстояние от центра интерференционной картины до точки наблюдения , то можно допустить, что т. е.

, (1.95)

Подставив значение (1.95) в условие (1.92) и выразив х, получим, что максимумы интенсивности будут наблюдаться при значениях

, (1.96)

где - длина волны в среде, а m - порядок интерференции, а хmax - координаты максимумов интенсивности.

Подставив (1.95) в условие (1.93), получим координаты минимумов интенсивности

, (1.97)

На экране будет видна интерференционная картина, которая имеет вид чередующихся светлых и темных полос. Цвет светлых полос определяется светофильтром, используемым в установке.


Расстояние между соседними минимумами (или максимумами) называется шириной интерференционной полосы. Из (1.96) и (1.97) следует, что эти расстояния имеют одинаковое значение. Чтобы рассчитать ширину интерференционной полосы, нужно из значения координаты одного максимума вычесть координату соседнего максимума

, (1.98)

Для этих целей можно использовать и значения координат двух любых соседних минимумов.

Опыт Юнга

      Как было уже показано, для наблюдения интерференции света необходимо иметь когерентные световые пучки, для чего применяются различные приёмы. В опыте Юнга когерентные пучки получали разделением и последующим сведением световых лучей, исходящих из одного и того же источника (

метод деления волнового фронта).

      Рассмотрим интерференционную картину, полученную методом Юнга (рис. 8.2).

Рис. 8.2

      Свет от источника S, прошедший через узкую щель в экране А, падет на экран В с двумя щелями S1 и S2, расположенными достаточно близко друг к другу на расстоянии d. Эти щели являются когерентными источниками света. Интерференция наблюдается в области, в которой перекрываются волны от этих источников (поле интерференции). На экране Э мы видим чередование полос с максимумом и минимумом интенсивности света.

      Экран расположен на расстоянии l от щелей, причем .

      Рассмотрим две световые волны, исходящие из точечных источников S1 и S2. Показатель преломления среды – n.

      Вычислим ширину полос интерференции (темных и светлых полос).

      Интенсивность в произвольной точке P экрана, лежащей на расстоянии x от О, определяется (для вакуума, когда n = 1) оптической разностью хода .

      Из рис. 8.1 имеем

;     ,

      отсюда , или

.

      Из условия  следует, что , поэтому

  . (8.2.1)  

      Отсюда получим, что максимумы интенсивности будут наблюдаться в случае, если

      (m = 0, 1, 2, …) (8.2.2)  

      а минимумы – в случае, если

  . (8.2.3)  

      Расстояние между двумя соседними максимумами (или минимумами) равно:

  , (8.2.4)  

      и не зависит от порядка интерференции (величины m) и является постоянной для данных l, d.

      Расстояние между двумя соседними максимумами называется расстоянием между интерференционными полосами, а расстояние между соседними минимумами – шириной интерференционной полосы.

      Т.к.  обратно пропорционально d, при большом расстоянии между источниками, например при , отдельные полосы становятся неразличимыми, сравнимыми с длиной волны . Поэтому необходимо выполнять условие .

      Этот опыт показывает, что интерференционная картина, создаваемая на экране  двумя когерентными источниками света, представляет собой чередование светлых и темных полос. Главный максимум, соответствующий , проходит через точку О. Вверх и вниз от него располагаются максимумы (минимумы) первого ( ), второго ( ) порядков

и т. д.

      Из перечисленных формул видно, что ширина интерференционной полосы и расстояние между ними зависят от длины волны λ. Только в центре картины при  совпадут максимумы всех волн. По мере удаления от центра максимумы разных цветов смещаются друг относительно друга все больше и больше. Это приводит, при наблюдении в белом свете, ко все большему размытию интерференционных полос. Интерференционная картина будет окрашенной, но нечеткой (смазанной).

      Измерив , зная l и d, можно вычислить длину волны λ. Именно так  вычисляют длины волн разных цветов в спектроскопии.


Интерференция от двух когерентных источников


Лекция 2. Интерференция световых волн

План лекции

 

2.1. Когерентность и монохроматичность световых волн.

2.2. Интерференция от двух когерентных источников.

2.3. Интерференция в тонких пленках.

2.4. Интерферометры.

2.5. Использование лазерной интерферометрии в строительстве.

Когерентность и монохроматичность световых волн

 

Явление интерференции света состоит в перераспределении светового потока, возникающем при сложении когерентных волн и проявляющемся во взаимном усилении световых волн в одних точках пространства и ослаблении их - в других. Это приводит к появлению устойчивой картины чередующихся максимумов и минимумов интенсивности света.

Необходимым условием интерференции волн является их когерентность, т.е. согласованное протекание во времени и пространстве волновых процессов. Этому удовлетворяют монохроматические волны, для которых

 

 

.

 

Они соответствуют неограниченной в пространстве синусоидальной волне:

 

 

.

 

При суперпозиции (наложении) таких волн

 

 

и наблюдается интерференционная картина.

 

Вид интерференционной картины зависит от характера наложения когерентных волн (рис. 2.1 – 2.3):

1) при таком наложении волн нет усиления сигнала:

 

 

 
 

 

 

Рис. 2.1

 

 

2) при таком наложении волн имеет место равномерная освещенность экрана:

 

 
 

 

Рис. 2.2

 

3) при таком наложении волн имеет место усиление сигнала:

 

 
 

 

 

Рис. 2.3

 

Для получения когерентных волн, дающих интерференционную картину, необходимо выполнение следующих условий:

 

Волны монохроматичны, если:

 

 

 

Реальные тепловые источники света дают некогерентные волны, т.к. атомы этих источников излучают свет очень короткое и конечное время:

 

.

 

Такое прерывистое излучение света атомами дает волновые цуги (см. рис. 2.4).

 

 

Рис. 2.4

Средняя продолжительность одного цуга называется временем когерентности. Длина цуга в вакууме lц , т.е. длина когерентности, будет равна:

 

,

 

где c – скорость света в вакууме.

 

Сравнение источников света по степени когерентности дано в таблице 2.

 

Таблица 2

 

 

Из таблицы видно, что лазеры дают световую волну гораздо более высокой степени когерентности, чем тепловые источники света.

Для получения когерентных световых пучков от тепловых источников света применяют различные приемы: метод щелей Юнга1 (рис. 2.5), зеркала Френеля (рис. 2.6), бипризму Френеля (рис. 2.7) и другие.

 

Рис. 2.5

 

[1] Т. Юнг (1773–1829), английский ученый.

 

 


Рис. 2.6

Рис. 2.7

 

Интерференция от двух когерентных источников

 

Рассчитаем интерференционную картину от двух когерентных источников (например, от двух щелей Юнга), расположенных достаточно близко друг от друга. Пусть щели S1 и S2 находятся на расстоянии d друг от друга (см. рис. 2.8). Интерференция наблюдается в произвольной точке А экрана, параллельного обеим щелям и расположенного от них на расстоянии l , причем l >> d. Пусть начало отсчета находится в точке О, симметричной относительно щелей.

Интенсивность в любой точке А экрана, лежащей на расстоянии x от О, определяется оптической разностью хода Δ = r2n2 - r1n1. Это следует из рассмотрения сложения световых волн, излучаемых источниками S1 и S2.

Источник S1 излучает световую волну:

 

 

Аналогично источник S2 излучает световую волну:

 

 

 
 

 


Рис. 2.8

 

Сложение этих двух волн при условии E01 = E02дает следующий результат:

 

 

Тогда интенсивность света I, пропорциональная квадрату амплитуды A (I ~ A2), будет равна

 

 

 

Здесь учтено, что

 

и, как указывалось выше, величина

 

 

есть оптическая разность хода.

Т. к. результирующая интенсивность пропорциональна квадрату косинуса, то возможны два случая ее существования:

 

 

 

Следовательно,

условие интерференционных min:

 

и условие интерференционныхmax:

 

Здесь k = 0,1,2…– порядок интерференционного максимума.

 

Определим положение максимумов интерференционной картины на экране. Сначала найдем

.

 

Полагая n2 = n1 = 1, найдем разность (r2r1). Из вышеприведенного рисунка 2.8 следует:

 

.

 

Отсюда

 

 

Следовательно, положение максимумов на экране определяется при:

 

 

а положение минимумов при:

 

 

Здесь, по-прежнему, k = 0,1,2… .

 

 

Тогда ширина интерференционной полосы (т.е. расстояние между двумя соседними максимумами) будет:

 

 

Таким образом, ширина интерференционной полосы будет зависеть от длины волны λ .


Читайте также:


Рекомендуемые страницы:

Поиск по сайту

1. Метод Юнга.

1. Электромагнитная природа света. Сложение колебаний, понятие о когерентности. Интерференция световых волн. Расчет интерференционной картины от двух источников. Пространственная и временная когерентность. Оптическая длина пути. Способы получения интерференционных картин . Интерференция в тонких пленках. Полосы равной толщины и равного наклона. Кольца Ньютона. Многолучевая интерференция. Практическое применение явления интерференции. Интерферометры.

  1. Электромагнитная природа света.

Т.к. свет представляет собой электромагнитные волны, то в основе волновой оптики лежат уравнения Максвелла и вытекающие из них соотношения для электромагнитных волн. Согласно электромагнитной теории Максвелла , где с и v соответственно скорости распространения света в среде с диэлектрической проницаемостью и магнитной проницаемостью μ и в вакууме. Это соотношение связывает оптические, электрические и магнитные постоянные вещ-ва. По Максвеллу, и μ -- величины, не зависящие от длины волны света, поэтому электромагнитная теория не могла объяснить явление дисперсии (зависимость показателя преломления от длины волны). Значения показателя преломления характеризуют оптическую плотность среды (оптически более и менее плотные среды). Длина световой волны в среде с показателем n связана с длиной волны в вакууме: .

  1. Сложение колебаний, понятие о когерентности.

В классической волновой оптике рассматриваются среды, линейные по своим оптическим св-вам, т.е такие, диэлектрическая и магнитная проницаемость которых н.з. от интенсивности света. Поэтому в волновой оптике справедлив принцип суперпозиции волн. Явления, наблюдающиеся при распространении света в оптически нелинейных средах, исследуются в нелинейной оптике. Нелинейные оптические эффекты становятся существенными при очень больших интенсивностях света, излучаемого мощными лазерами. Пусть две волны одинаковой частоты, накладываясь друг на друга, возбуждают в некоторой точке пространства колебания одинакового направления:

. Амплитуда результирующего колебания в данной точке будет: где. Если разность фаз δ возбуждаемых волнами колебаний остается постоянной во времени, то волны наз-ся когерентными.

  1. Интерференция световых волн.

Явление интерференции света состоит в отсутствии суммирования интенсивностей

световых волн при их наложении, т.е. во взаимном усилении этих волн в одних точках пространства и ослаблении – в других. Необходимым условием интерференции волн является их когерентность. Этому условию удовлетворяют монохроматические волны одинаковой частоты (неограниченные в пространстве волны одной определенной и строго постоянной частоты). Так как ни один реальный источник не дает строго монохроматического света, то волны, излучаемые любыми независимыми источниками света, всегда

некогерентны (например, две лампочки). Однако из-за поперечности электромагнитных волн условие их когерентности еще не достаточны для получения интерференционной картины. Необходимо, кроме того, чтобы колебания

векторов Е электромагнитных полей интерферирующих волн совершались вдоль

одного и того же или близких направлений. Продолжительность процесса излучения света атомом t~10-8 с. За этот промежуток времени возбужденный атом, растратив свою избыточную энергию на излучение, возвращается в

нормальное (невозбужденное) состояние и излучение им света прекращается. Затем, спустя некоторый промежуток времени атом может вновь возбудиться и начать излучать свет. Такое прерывистое излучение света атомами в виде

отдельных кратковременных импульсов – цугов волн – характерно для любого источника света независимо от специфических особенностей тех процессов, которые происходят в источнике и вызывают возбуждение его атома.

  1. Расчет интерференционной картины от двух источников.

Расчет интерференционной картины для двух источников можно провести используя две узкие параллельные щели, расположенные достаточно близко друг к другу.

Щели инаходятся на расстоянииd друг от друга и являются когерентными источниками света. Интерференция наблюдается в произвольной точке А экрана, параллельного обеим щелям и расположенного от них на расстоянии l, причем l>>d. Начало отсчета выбрано в точке О, симметричной относительно щелей. Интенсивность в любой точке А экрана, лежащей на расстоянии х от О, определяется оптической разностью хода (разностью оптических длин проходимых волнами путей).

Из рисунка имеем: откуда или . Из условия l>>d следует, что поэтому . Подставив найденное значение Δ в условия интерференционного максимума и минимума: и

, получим, что максимумы интенсивности будут наблюдаться при , а минимумы – при. Расстояние между двумя соседними максимумами (или минимумами) называемое шириной интерференционной полосы равно:. Δx не зависит от порядка интерференции (величины m) и является постоянной для . Δx обратно пропорционально d, след. при большом расстоянии между источниками, например, d l , отдельные полосы становятся неразличимыми. Из двух предпоследних формул следует так же, что интерференционная картина , создаваемая на экране двумя когерентными источниками света, представляет собой чередование светлых и темных полос, параллельных друг другу. Главный максимум, соответствующий m=0, проходит через точку О. Вверх и вниз от него, на равных расстояниях располагаются максимумы (минимумы) первого (m=1) и других порядков. Описанная картина справедлива только лишь при освещении монохроматическим светом. Если использовать белый свет, то интерференционные максимумы для каждой длины волны будут смещены друг относительно друга и иметь вид радужных полос. Только для m=0 максимумы всех длин волн совпадают, а в середине экрана будет наблюдаться белая полоса.

  1. Пространственная и временная когерентность.

Любой монохроматический свет можно представить в виде совокупности сменяющих друг друга независимых гармонических цугов. Средняя продолжительность одного цуга называется временем когерентности. Когерентность существует только в пределах одного цуга, и время когерентности не может превышать время излучения, . Если волна распространяется в однородной среде, то фаза колебаний в определенной точке пространства сохраняется только в течении времени когерентности. За это время волна распространяется в вакууме на расстояние , называемое длиной когерентности. Отсюда следует, что наблюдение интерференции света возможно лишь при оптических разностях хода, меньших длины когерентности для используемого источника света. Чем ближе волна к монохроматической, тем меньше ширина спектра ее частот и больше ее время когерентности, а следовательно и длина когерентности. Когерентность колебаний, которые совершаются в одной и той же точке пространства, определяемая степенью монохроматичности волн, называется временной когерентностью. Наряду с временной когерентностью, для описания когерентных свойств волн в плоскости, перпендикулярной направлению их распространения, вводится понятие пространственной когерентности. Два источника, размеры которых позволяют (при необходимой степени монохроматичности света) наблюдать интерференцию, называются пространственно когерентными.

  1. Оптическая длина пути.

Пусть разделение на две когерентные волны происходит в одной определенной точке О. До точки М, в которой наблюдается интерференционная картина, одна волна в результате преломления прошла путь, вторая – в среде– путь. Если в точке О фаза колебаний равнаωt , то в точке М первая волна возбудит колебание вторая волна – колебание где –фазовая скорость первой и второй волны. Произведение геометрической длины S пути световой волны в данной среде на показатель преломления этой среды называется оптической длиной волны L, a – разность оптических длин проходимых путей – оптическая разность хода. Если оптическая разность хода равна целому числу волн в вакууме , то и колебания, возбуждаемые в точке М обеими волнами, будут происходить в одинаковой фазе. Следовательно, это максимум. Если оптическая разность хода тои колебания, возбуждаемые в точке М обеими волнами, будут происходить в противофазе. Следовательно мин..

  1. Способы получения интерференционных картин.

Для осуществления интерференции света необходимо получить когерентные световые пучки, для чего применяются различные приемы. До появления лазеров во всех приборах для наблюдения интерференции света когерентные пучки получали разделением и последующим сведением световых лучей, исходящих из одного и того же источника. Практически это можно осуществить с помощью экранов и щелей, зеркал и преломляющих тел.

Источником света служит ярко освещенная щель S, от которой световая волна падает на две узкие равноудаленные щели и, параллельные щели S. Таким образом, щелиииграют роль когерентных источников. Интерференционная картина (область ВС) наблюдается на экране Э, расположенном на некотором расстоянии параллельнои.

2.Зеркала Френеля.

Свет от источника S падает расходящимся пучком на два плоских зеркала и, расположенных относительно друг друга под углом, лишь немного отличающимся от(уголмал). Световые пучки, отразившиеся от обоих зеркал, можно считать выходящими из мнимых источникови, являющихся мнимыми изображениямиS в зеркалах. Мнимые источники ивзаимно когерентны, и исходящие из них световые пучки, встречаясь друг с другом, интерферируют в области взаимного перекрывания (на рисунке это раскрашенная область). Интерференционная картина наблюдается на экране на экране Э, защищенного от прямого попадания света заслонкой З

3. Бипризма Френеля.

Она состоит из двух одинаковых, сложенных основаниями призм с малыми преломляющими углами. Свет от источника S преломляется в обеих призмах, в результате чего за бипризмой распространяются световые лучи, как бы исходящие из мнимых источников и, являющихся когерентными. Таким образом, на поверхности экрана (в области выполненной в цвете) происходит наложение когерентных пучков и наблюдается интерференция.

  1. Интерференция в тонких пленках.

В природе часто можно наблюдать радужное окрашивание тонких пленок (масляные пленки на воде, мыльные пузыри и т.д.) возникающее в р- тате интерференции света, отраженного двумя поверхностями пленки. Пусть на плоскопараллельную прозрачную пленку с показателем преломления n и толщиной d под углом i падает плоская монохроматическая волна (для простоты рассм. один луч).

На поверхности пленки в точке О луч разделится на два: частично отразится от верхней поверхности пленки, и частично преломится. Преломленный луч, дойдя до точки С, частично преломится в воздух (), и частично отразится и пойдет к точке В. Здесь он опять частично отразится (этот ход луча в дальнейшем из-за малой интенсивности не рассматриваем) и преломится, выходя в воздух под углом i. Вышедшие из пленки лучи 1 и 2 когерентны, если оптическая разность их хода мала по сравнению с длиной когерентности падающей волны. Если на их поставить собирающую линзу, то они сойдутся в одной из точек Р фокальной плоскости линзы и дадут интерференционную картину, которая определится оптической разностью хода между интерферирующими лучами. Оптическая разность хода, возникающая между двумя интерферирующими лучами от точки О до плоскости АВ:где показатель преломления окружающей среды принят равным 1, аобусловлен потерей полуволны при отражении света от границы раздела. Если, то потеря полуволны произойдет в точке О (C) ибудет иметь знак минус (плюс).

  1. Полосы равной толщины и равного наклона.

  1. Полосы равного наклона (интерференция от плоскопараллельной пластинки).

Интерференционная картина в плоскопараллельных пластинках (пленках) определяется величинами . Для данных ,d, n каждому наклону i лучей соответствует своя интерференционная полоса.

Интерференционные полосы, возникающие в результате наложения лучей падающих на плоскопараллельную пластинку под одинаковыми углами, называются полосами равного наклона. Лучи 1’ и 1”, отразившиеся от верхней и нижней граней пластинки, параллельные друг другу, так как пластинка плоскопараллельна. Следовательно, интерферирующие лучи 1’ и 1” «пересекаются» только в бесконечности. Для их наблюдения используют собирающую линзу и экран (Э), расположенный в фокальной плоскости линзы. Параллельные лучи 1’ и 1” соберутся в фокусе F линзы , в эту же точку придут и другие лучи, параллельные лучу 1, в результате чего увеличивается общая интенсивность. Лучи 3, наклоненные под другим углом , соберутся в другой точке фокальной плоскости линзы. Если оптическая ось линзы перпендикулярна поверхности пластинки, полосы равного наклона будут иметь вид концентрических колец с центром в фокусе линзы.

I.3. Расчет интерференционной картины от двух когерентных источников

быть выражено через разность хода: если оптическая разность хода двух когерентных волн равна четному числу полуволн в вакууме

= ±2k λ20 , (I.7)

то в данной точке вóлны усиливают друг друга, наблюдается максимум интенсивности света.

Условие интерференционных минимумов. Если разность фаз равна нечетному числу π, т.е.

δ = ± (2k + 1)π,

то в данной точке пространства происходит ослабление колебаний. С учетом формулы (I.6) условие минимумов интерференции может быть выражено через разность хода: если оптическая разность хода двух когерентных волн равна нечетному числу полуволн в вакууме

= ± (2k + 1)

λ0

,

(I.8)

2

 

 

 

то в данной точке вóлны гасят друг друга, наблюдается минимум интенсивности света.

При наблюдении интерференции в монохроматическом свете интерференционная картина представляет собой чередование светлых и темных участков. Интерференционная картина в белом свете приобретает радужную окраску.

Рассмотрим два когерентных источника света S1 и S2, расстояние между которыми равно d (рис. I.8). В поле интерференции внесем экран, на котором бу-

дет наблюдаться интерференцион-

 

 

 

x

ная картина. Расстояние от источ-

 

 

 

 

 

 

P

ников до экрана равно l. Пусть на

S1

r1

 

x

экране в некоторой точке P с коор-

r2

d/2

динатой x наблюдается интерфе-

d

 

ренционный максимум или мини-

 

d/2

O

 

 

мум. Квадраты расстояний от ис-

S2

 

 

l

 

 

точников S1 и S2 до точки Р соответ-

 

 

 

 

 

 

 

ственно равны

 

Рис. I.8

 

 

r12 = l2 + ( x − d )2 ,

(I.9)

 

 

2

 

 

r22 = l2 + ( x +

d )2 .

 

(I.10)

 

 

2

 

 

Вычтем уравнение (I.9) из уравнения (I.10):

 

 

 

r22 − r12 = ( x +

d )2 −

( x −

d )2 .

 

 

2

 

2

 

Выполнив преобразования, получим

 

 

 

 

(r2 – r1)(r2 + r1) = 2xd.

 

Интерференционная картина будет наблюдаться, если d << l и x << l. Тогда

r2 + r1 ≈ 2l, т.е.

 

 

 

 

2l(r2 – r1) = 2xd,

 

 

откуда геометрическая разность хода

r = r2 – r1 равна

 

r = xdl .

Умножим правую и левую часть полученного уравнения на n (показатель преломления среды, в которой распространяются когерентные волны):

n r =

n

xd

l .

Слева имеем оптическую разность хода

 

, следовательно

=n xdl .

Всоответствии с условием интерференционного максимума (I.7)

n xd

= ± kλ .

 

l

 

 

 

 

Так как λ/n = λ0, то для координат интерференционных максимумов имеем

 

x =

± k

lλ0

.

(I.11)

 

max

 

d

 

 

 

 

 

Аналогично, в соответствии с условием (I.8), получим формулу для координат интерференционных минимумов:

xmin

= ± (k + 1 )

lλ0

.

(I.12)

 

 

2

d

 

Ширина интерференционной полосы

x есть расстояние между соседними мак-

симумами или соседними минимумами. Величину

x можно определить, если

взять разность координат соседних максимумов (или соседних минимумов)

x = хk+1 – xk. Тогда ширина интерференционной полосы равна

 

 

 

 

x =

lλ0 .

 

 

 

(I.13)

 

 

 

 

d

 

 

 

 

 

I.4. Интерференция света в тонких пленках

 

Пусть на тонкую пленку (или на тонкую прозрачную пластинку) падает луч

монохроматического света (рис. I.9) под некоторым углом α. Падающий луч в

точке падения А частично отражается и частично преломляется в пленке. Луч,

отраженный от нижней поверхности пленки в точке В, выходит из пленки в

точке С. Волновая поверхностьCD перпендикулярна отраженным лучам 1 и 2.

Эти лучи являются когерентными, поскольку образованы из одной световой

волны. Лучи 1 и 2 фокусируются линзой Л на экране Э в точке P, в которой

происходит интерференция. В результате интерференции в точке Р будет на-

блюдаться свет (если выполняется

 

 

 

 

 

условие интерференционных мак-

 

 

 

Л

P

симумов) или темнота (если вы-

 

 

 

полняется условие интерференци-

 

 

 

1

 

онных минимумов). Результат ин-

 

 

α

D

Э

 

 

α C

терференции

можно

наблюдать

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

глазом. Поскольку лучи 1 и 2 па-

 

 

 

 

d

n

β

 

 

раллельны друг другу, глаз должен

β

 

 

 

быть аккомодирован в бесконеч-

 

 

 

 

 

ность. Оптическая разность

хода

 

 

 

B

 

лучей 1 и 2 равна

 

 

 

 

Рис. I.9

 

= n(AB + BC) – AD – λ0

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

где n – показатель преломления пленки, λ0

– потеря полуволны при отражении

 

 

 

 

2

 

 

 

 

луча 1 от оптически более плотной среды1. Из рис. I.9 видно, что

 

1 При отражении световой волны от оптически более плотной среды фаза колебаний меняется на π радиан, что соответствует изменению разности хода на λ20 . При этом в выражении

для оптической длины пути следует добавить (или вычесть) слагаемое λ20 .

AB

= BC =

 

 

d

 

 

;

AC = 2dtgβ;

 

AD = ACsinα = 2dtgβsinα.

 

cosβ

 

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

λ0

 

 

 

 

 

 

 

 

2dsinβsinα

 

λ0

 

n

2d

 

 

− 2dtgβsinα −

 

 

n

2d

 

=

 

2

 

 

=

 

 

cosβ

 

 

2 .

cosβ

 

 

cosβ

 

 

Поскольку sinα = nsinβ, то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2d

 

 

 

2

 

λ0

 

 

 

 

 

 

 

2

ц

 

λ0

 

 

 

 

 

 

 

 

2dnsinβ

 

 

 

 

 

ж1 −sin β

 

 

 

= n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

2dnз

 

 

ч

 

 

.

 

cosβ

 

cosβ

 

2

 

 

 

cosβ

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

ш

 

 

 

Следовательно, оптическая разность хода лучей 1 и 2 равна

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 2dncosβ –

λ0

,

 

 

 

 

(I.14)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

где d – толщина пленки, β – угол преломления. Учитывая, что cosβ = 1 − sin 2β ,

и выражая по закону преломления sinβ = sinαn , получим еще одну формулу для оптической разности хода лучей 1 и 2:

 

 

 

 

 

 

λ

 

 

 

= 2d n

2

2

0

 

 

 

sinα

 

.

(I.15)

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

Полосы равного наклона. На тонкую пленку толщиной d (d = const) падает рассеянный монохроматический свет (λ0 = const). В рассеянном свете имеются лучи различных направлений, поэтому углы падения лучей принимают значения от 0 до π/2. Покажем на чертеже (рис. I.10) лучи, которые падают под некоторым углом α и лежат в плоскости чертежа. Лучи, отраженные от верхней и от нижней поверхности пленки фокусируются собирающей линзой Л, в фокальной плоскости которой расположен экран Э. Освещенность в точке Р на экране будет определяться оптической разностью хода интерферирующих лучей. Лучи, которые идут в другой плоскости, но падают под тем же углом α, соберутся линзой в других точках экрана на таком же расстоянии от точки О, что и точка Р. Таким образом, лучи рассеянного света, падающие под углом α, создадут на экране одну и ту же освещенность (по окружности или по дуге окружности с центром в точке О).

Лучи, падающие под другим углом α′, создадут на экране совокупность точек с другой освещенностью (т.к. оптическая разность хода интерферирующих лучей изменится).

Л

d

Рис. I.10

Образуется окружность другого радиуса и другой освещенности. Для всей совокупности лучей на экране возникает система чередующихся светлых и темных круговых полос с центром в точке О. Интерференционная картина в этом случае называется полосами равного наклона, поскольку каждая полоса образована лучами, падающими на пленку под одинаковыми углами. В случае белого света интерференционная картина приобретает радужную окраску.

Полосы равной толщины наблюдаются при интерференции света в случае отражения лучей от пленок переменной толщины или в клинообразных пластинках. Рассмотрим падение лучей монохроматического света на поверхность клинообразной пластинки под равными углами α (рис. I.11). Падающие лучи частично отражаются от верхней поверхности клина, частично преломляются в клине и отражаются от его нижней поверхности, образуются когерентные лучи (лучи 1, 2 и 1′, 2′ на рис. I.11). Разность хода лучей, интерферирующих в различных по толщине местах пленки, неодинакова. Эта разность остается постоянной вдоль линии, параллельной ребру клина, и убывает от основания к ребру. Отраженные лучи могут быть сфокусированы при помощи линзы, тогда на

13

3. Интерференция света от двух когерентных источников

Впервые интерференционную картину от двух источников света наблюдал в 1802 году английский ученый Юнг. В опыте Юнга (рис.3) свет от точечного источника (малое отверстие S) проходит через две равноудаленные щели (отверстия) А1 и А2, являющиеся как бы двумя когерентными источниками.Интерференционная картина наблюдается на экране Е, расположенном на некотором расстоянии l параллельно А1А2. Начало отсчета выбрано в точке 0, симметричной относительно щелей.

Усиление и ослабление света в произвольной точке Р экрана зависит от оптической разности хода лучей D =L2 – L1. Для получения различимой интерференционной картины расстояние между источниками А1А2=d должно быть значительно меньше расстояния до экрана l. Расстояние х, в пределах которого образуются интерференционные полосы, значительно меньше l. При этих условиях можно положить S2 – S1 » 2l. Тогда S2 – S1 » xd/l. Умножив на n, получим D = nxd/l. (6)

Подставив (6) в (4) получим, что максимумы интенсивности будут наблюдаться при значениях х, равных

хmax = ± mll/d (m = 0, 1,2,.,,.). (7)

Координаты минимумов интенсивности будут:

хmin = ±(m +1/2)ll/d (m = 0,1,2,...). (8)

Расстояние между двумя соседними максимумами интенсивности называется расстоянием между интерференционными полосами, а расстояние между соседними минимумами - шириной интерференционной полосы. Из (7) и (8) следует, что расстояние между полосами и ширина полосы имеют одинаковое значение, равное Dх = ll/d. (9)

Такая картина справедлива при освещении экрана монохроматическим светом (l0 = const). При освещении белым светом интерференционные макс. и мин. для каждой длины волны будут смещены друг относительно друга и иметь вид радужных полос. Только для m = 0 максимумы для всех длин волн совпадают, и в середине экрана будет наблюдаться светлая полоса, по обе стороны от которой симметрично расположатся спектрально окрашенные полосы максимумов первого, второго порядков и т д.

Наблюдать интерференционную картину можно с помощью зеркала Френеля, зеркала Лойда, бипризмы Френеля и других оптических устройств, а также при отражении света от тонких прозрачных пленок.

1. Световые волны

Свет представляет собой сложное явление: в одних случаях он ведет себя как электромагнитная волна, в других - как поток особых частиц (фотонов). Длительный путь развития учения о свете привел к современным представлениям о двойственной корпускулярно-волновой природе света.

Согласно корпускулярной теории предложенной Ньютоном (тео­рии истечения), свет представляет собой поток частиц (корпускул), испускаемых светящимися телами и летящих по прямо­линейным траекториям.

Согласно волновой теории, развитой на основе аналогии оптических и акусти­ческих явлений, свет представляет собой упругую волну, распространяющуюся в особой среде — эфире. Эфир заполняет все мировое пространство, пронизывает все тела и обладает механическими свой­ствами — упругостью и плотностью. Со­гласно Гюйгенсу, большая скорость рас­пространения света обусловлена особыми свойствами эфира.

Волновая теория основывается на прин­ципе Гюйгенса: каждая точка, до которой доходит волна, служит центром вторич­ных волн, а огибающая этих волн дает положение волнового фронта в следую­щий момент времени.

Теоретические исследования Максвелла о распространении электромагнитных волн, экспериментальные измерения скорости их распространения в пустоте, оказавшейся равной скорости распространения света в пустоте, и другие исследования позволили выдвинуть предположение о чисто электромагнитной природе света.

Электромагнитная теория света явилась существенным шагом вперед в понимании природы оптических явлений. Свет оказался частным случаем электромагнитных волн с длиной волны от l = 400 нм (фиолетовый) до l=760 нм (красный). Только этот интервал длин электромагнитных волн оказывает непосредственное воздействие на наш глаз и является собственно светом.

В электромагнитной волне колеблются векторы Е и Н, причем Е^Н (рис.1). Модуль амплитуды светового

вектора обозначим А. Соответственно изменение во времени и пространстве проекции светового вектора на направление, вдоль которого он колеблется, будет описываться уравнением Е = Асоs(wt – kr + a) – уравнение световой волны (1) где k - волновое число (k = 2p/l), r-расстояние, отсчитываемое вдоль направления распространения световой волны. Для плоской световой волны, распространяющейся в непоглощающей среде, А = const, для сферической волны, А убывает как 1/r и т.д.

Теория Максвелла не смогла объяснить процессов испускания и погло­щения света, фотоэлектрического эффекта, комптоновского рассеяния и т. д. Перечисленные затруднения и противо­речия были преодолены благодаря смелой гипотезе немецкого физика М. План­кА, согласно которой излуче­ние электромагнитного поля происходят не непрерывно, а дискретно, т. е. опреде­ленными порциями (квантами), энергия которых определяетсячастотой v: где h — постоянная Планка.

Теория Планка объяснила тепловое излу­чение абсолютно черного тела. Эйнштейн в 1905 г. создал квантовую теорию света, согласно которой не только излучение света, но и его распространение происхо­дит в виде потока световых квантов — фотонов, энергия которых определяется соотношением (171.3), а масса

Все многообразие изученных свойств и зако­нов распространения света, его взаимо­действия с веществом показывает, что свет имеет сложную природу. Он пред­ставляет собой единство противополож­ных видов движения — корпускулярного (квантового) и волнового (электромаг­нитного). Длительный путь развития при­вел к современным представлениям о двойственной корпускулярно-волновой природе света. Выражения (171.3) и (171.4) связывают корпускулярные характеристи­ки излучения — массу и энергию кванта — с волновыми — частотой колебаний и дли­ной волны. Таким образом, свет пред­ставляет собой единство дискретности и непрерывности, что находится в пол­ном соответствии с выводами материали­стической диалектики.

Отношение скорости распространения световой волны в вакууме (с) к ее скорости в некоторой среде V называется абсолютным показателем преломления этой среды и обозначается буквой n. Т. о., n = с/ V. (2)

Из электромагнитной теории следует, что n = Öem, где e и m - диэлектрическая и магнитная проницаемости среды. Для подавляющего большинства прозрачных веществ m практически не отличается от единицы. Поэтому можно считать, что n=Öe. Эта формула связывает оптические и электрические свойства вещества. В эту формулу надо подставлять e, полученное для соответствующей частоты, так как n зависит от частоты (длины волны) света.

Значения показателя преломления характеризуют оптическую плотность cреды. Среда с большим n называется оптически более плотной, чем cреда с меньшим n, и наоборот.

Как уже отмечалось, длины волн видимого света l = 400 - 760 нм. Эти значения относятся к световым волнам в вакууме, В веществе длины световых волн будут иными. В случае колебаний частоты n длина волны в вакууме равна l0 = c/n. В среде, в которой фазовая скорость световой волны V = с/n, длина волны имеет значение l = V/n = c/nn =l0/n.

Т.о. длина световой волны в среде с показателем преломления n связана с длиной волны в вакууме соотношением l = l0 /n. Частоты видимых световых волн лежат в пределах n = (3,9-: 7,5) 1014 Гц.

Частота изменений плотности потока энергии, переносимой волной, будет еще больше. Уследить за столь быстрыми изменениями потока энергии не могут ни глаз, ни приборы, вследствие чего они регистрируют усредненный по времени поток.

Для характеристики интенсивности света с учетом его способ­ности вызывать зрительное ощущение вводится величина Ф, называемаясветовым потоком. Для интервала dлямбда световой поток определяется как произведение потока энергии на соответ­ствующее значение функции-V (лямбда):

Выразив поток энергии через функцию распределения энергии по длинам волн (см. (113.1)), получим

Полный световой поток равен

Функция V (X) — безразмерная величина. Следовательно, раз­мерность светового потока совпадает с размерностью потока энер­гии. Это позволяет определить световой поток как поток световой энергии, оцениваемый по зрительному ощущению. Единицей светового потока является люмен (лм).

Модуль среднего по времени значения плотности потока энергии, переносимой световой волной носит название интенсивности света I в данной точке пространства. Плотность потока электромагнитной энергии определяется вектором Пойтинга S. Следовательно, I=|<S>|= |<[ЕН]>|.

Измеряется интенсивность либо в энергетических единицах (Вт/м2), либо в световых единицах, носящих название (лм/м2). Поскольку для электромагнитной волны напряженность Е ~ Н, тогда I~А2.

Линии, вдоль которых распространяется световая энергия, называются лучами. Усредненный вектор Пойтинга <S> направлен в каждой точке по касательной к лучу. В изотропных средах это направление совпадает с нормалью к волновой поверхности, т.е. с направлением волнового вектора `k. Модуль êkê = k – волновое число.

В естественном свете колебания различных направлений быстро и беспорядочно сменяют друг друга. Свет, в котором направления колебаний упорядочены каким-либо образом, называется поляризованным. Если колебания светового вектора происходят только в одной проходящей через луч плоскости, свет называется плоско- (или линейно-) поляризованным. Упорядоченность может заключаться в том, что вектор Е поворачивается вокруг луча, одновременно пульсируя по величине. В результате конец вектора Ё описывает эллипс. Такой свет называется эллиптически - поляризованным. Если конец вектора Ё описывает окружность, свет называется поляризованным по кругу.

Интерференция волн - материалы для подготовки к ЕГЭ по Физике

 


Автор — профессиональный репетитор, автор учебных пособий для подготовки к ЕГЭ Игорь Вячеславович Яковлев

Темы кодификатора ЕГЭ: интерференция света.

В предыдущем листке, посвящённом принципу Гюйгенса, мы говорили о том, что общая картина волнового процесса создаётся наложением вторичных волн. Но что это значит - "наложением"? В чём состоит конкретный физический смысл наложения волн? Что вообще происходит, когда в пространстве одновременно распространяются несколько волн? Этим вопросам и посвящён данный листок.

Сложение колебаний.

 

Сейчас мы будем рассматривать взаимодействие двух волн. Природа волновых процессов роли не играет - это могут быть механические волны в упругой среде или электромагнитные волны (в частности, свет) в прозрачной среде или в вакууме.

Опыт показывает, что волны складываются друг с другом в следующем смысле.

Принцип суперпозиции. Если две волны накладываются друг на друга в определённой области пространства, то они порождают новый волновой процесс. При этом значение колеблющейся величины в любой точке данной области равно сумме соответствующих колеблющихся величин в каждой из волн по отдельности.

Например, при наложении двух механических волн перемещение частицы упругой среды равно сумме перемещений, создаваемых в отдельности каждой волной. При наложении двух электромагнитных волн напряжённость электрического поля в данной точке равна сумме напряжённостей в каждой волне (и то же самое для индукции магнитного поля).

Разумеется, принцип суперпозиции справедлив не только для двух, но и вообще для любого количества накладывающихся волн. Результирующее колебание в данной точке всегда равно сумме колебаний, создаваемых каждой волной по отдельности.

Мы ограничимся рассмотрением наложения двух волн одинаковой амплитуды и частоты. Этот случай наиболее часто встречается в физике и, в частности, в оптике.

Оказывается, на амплитуду результирующего колебания сильно влияет разность фаз складывающихся колебаний. В зависимости от разности фаз в данной точке пространства две волны могут как усиливать друг друга, так и полностью гасить!

Предположим, например, что в некоторой точке фазы колебаний в накладывающихся волнах совпадают (рис. 1).

Рис. 1. Волны в фазе: усиление колебаний

 

Мы видим, что максимумы красной волны приходятся в точности на максимумы синей волны, минимумы красной волны - на минимумы синей (левая часть рис. 1). Складываясь в фазе, красная и синяя волны усиливают друг друга, порождая колебания удвоенной амплитуды (справа на рис. 1).

Теперь сдвинем синюю синусоиду относительно красной на половину длины волны. Тогда максимумы синей волны будут совпадать с минимумами красной и наоборот - минимумы синей волны совпадут с максимумами красной (рис. 2, слева).

Рис. 2. Волны в противофазе: гашение колебаний

 

Колебания, создаваемые этими волнами, будут происходить, как говорят, в противофазе - разность фаз колебаний станет равна . Результирующее колебание окажется равным нулю, т. е. красная и синяя волны попросту уничтожат друг друга (рис. 2, справа).

Когерентные источники.

 

Пусть имеются два точечных источника, создающие волны в окружающем пространстве. Мы полагаем, что эти источники согласованы друг с другом в следующем смысле.

Когерентность. Два источника называются когерентными, если они имеют одинаковую частоту и постоянную, не зависящую от времени разность фаз. Волны, возбуждаемые такими источниками, также называются когерентными.

Итак, рассматриваем два когерентных источника и . Для простоты считаем, что источники излучают волны одинаковой амплитуды, а разность фаз между источниками равна нулю. В общем, эти источники являются "точными копиями" друг друга (в оптике, например, источник служит изображением источника в какой-либо оптической системе).

Наложение волн, излучённых данными источниками, наблюдается в некоторой точке . Вообще говоря, амплитуды этих волн в точке не будут равны друг другу - ведь, как мы помним, амплитуда сферической волны обратно пропорциональна расстоянию до источника, и при разных расстояниях и амплитуды пришедших волн окажутся различными. Но во многих случаях точка расположена достаточно далеко от источников - на расстоянии гораздо большем, чем расстояние между самими источниками. В такой ситуации различие в расстояниях и не приводит к существенному отличию в амплитудах приходящих волн. Следовательно, мы можем считать, что амплитуды волн в точке также совпадают.

Условие максимума и минимума.

 

Однако величина , называемая разностью хода, имеет важнейшее значение. От неё самым решительным образом зависит то, какой результат сложения приходящих волн мы увидим в точке .
P
Рис. 3. Усиление колебаний в точке P

 

В ситуации на рис. 3 разность хода равна длине волны . Действительно, на отрезке укладываются три полных волны, а на отрезке - четыре (это, конечно, лишь иллюстрация; в оптике, например, длина таких отрезков составляет порядка миллиона длин волн). Легко видеть, что волны в точке складываются в фазе и создают колебания удвоенной амплитуды - наблюдается, как говорят, интерференционный максимум.

Ясно, что аналогичная ситуация возникнет при разности хода, равной не только длине волны, но и любому целому числу длин волн.

Условие максимума. При наложении когерентных волн колебания в данной точке будут иметь максимальную амплитуду, если разность хода равна целому числу длин волн:

(1)

Теперь посмотрим на рис. 4. На отрезке укладываются две с половиной волны, а на отрезке -три волны. Разность хода составляет половину длины волны (d=\lambda /2[/math]).

S_{2}P
Рис. 4. Гашение колебаний в точке P

 

Теперь нетрудно видеть, что волны в точке складываются в противофазе и гасят друг друга - наблюдается интерференционный минимум. То же самое будет, если разность хода окажется равна половине длины волны плюс любое целое число длин волн.

Условие минимума.
Когерентные волны, складываясь, гасят друг друга, если разность хода равна полуцелому числу длин волн:

(2)

Равенство (2) можно переписать следующим образом:

.

Поэтому условие минимума формулируют ещё так: разность хода должна быть равна нечётному числу длин полуволн.

Интерференционная картина.

 

А что, если разность хода принимает какое-то иное значение, не равное целому или полуцелому числу длин волн? Тогда волны, приходящие в данную точку, создают в ней колебания с некоторой промежуточной амплитудой, расположенной между нулём и удвоенным значением 2A амплитуды одной волны. Эта промежуточная амплитуда может принимать все значения от 0 до 2A по мере того, как разность хода меняется от полуцелого до целого числа длин волн.

Таким образом, в той области пространства, где происходит наложение волн когерентных источников и , наблюдается устойчивая интерференционная картина - фиксированное не зависящее от времени распределение амплитуд колебаний. А именно, в каждой точке данной области амплитуда колебаний принимает своё значение, определяемое разностью хода приходящих сюда волн, и это значение амплитуды не меняется со временем.

Такая стационарность интерференционной картины обеспечивается когерентностью источников. Если, например, разность фаз источников будет постоянно меняться, то никакой устойчивой интерференционной картины уже не возникнет.

Теперь, наконец, мы можем сказать, что такое интерференция.

Интерференция - это взаимодействие волн, в результате которого возникает устойчивая интерференционная картина, то есть не зависящее от времени распределение амплитуд результирующих колебаний в точках области, где волны накладываются друг на друга.

Если волны, перекрываясь, образуют устойчивую интерференционную картину, то говорят попросту, что волны интерферируют. Как мы выяснили выше, интерферировать могут только когерентные волны. Когда, например, разговаривают два человека, то мы не замечаем вокруг них чередований максимумов и минимумов громкости; интерференции нет, поскольку в данном случае источники некогерентны.

На первый взгляд может показаться, явление интерференции противоречит закону сохранения энергии - например, куда девается энергия, когда волны полностью гасят друг друга? Но никакого нарушения закона сохранения энергии, конечно же, нет: энергия просто перераспределяется между различными участками интерференционной картины. Наибольшее количество энергии концентрируется в интерференционных максимумах, а в точки интерференционных минимумов энергия не поступает совсем.

На рис. 5 показана интерференционная картина, созданная наложением волн двух точечных источников и . Картина построена в предположении, что область наблюдения интерференции находится достаточно далеко от источников. Пунктиром отмечена ось симметрии интерференционной картины.

S_{2}
Рис. 5. Интерференция волн двух точечных источников

 

Цвета точек интерференционной картины на этом рисунке меняются от чёрного до белого через промежуточные оттенки серого. Чёрный цвет - интерференционные минимумы, белый цвет - интерференционные максимумы; серый цвет - промежуточное значение амплитуды, и чем больше амплитуда в данной точке, тем светлее сама точка.

Обратите внимание на прямую белую полосу, которая идёт вдоль оси симметрии картины. Здесь расположены так называемые центральные максимумы. Действительно, любая точка данной оси равноудалена от источников (разность хода равна нулю), так что в этой точке будет наблюдаться является интерференционный максимум.

Остальные белые полосы и все чёрные полосы слегка искривлены; можно показать, что они являются ветвями гипербол. Однако в области, расположенной на большом расстоянии от источников, кривизна белых и чёрных полос мало заметна, и выглядят эти полосы почти прямыми.

Интерференционный опыт, изображённый на рис. 5, вместе с соответствующим методом расчёта интерференционной картины называется схемой Юнга. Эта схема лежит в основе знаменитного
опыта Юнга (речь о котором пойдёт в теме Дифракция света). Многие эксперименты по интерференции света так или иначе сводятся к схеме Юнга.

В оптике интерференционную картину обычно наблюдают на экране. Давайте ещё раз посмотрим на рис. 5 и представим себе экран, поставленный перпендикулярно пунктирной оси.
На этом экране мы увидим чередование светлых и тёмных интерференционных полос.

На рис. 6 синусоида показывает распределение освещённости вдоль экрана. В точке O, расположенной на оси симметрии, находится центральный максимум. Первый максимум в верхней части экрана, соседний с центральным, находится в точке A. Выше идут второй, третий (и такдалее) максимумы.

S_{2}
Рис. 6. Интерференционная картина на экране

 

Расстояние , равное расстоянию между любыми двумя соседними максимумами или минимумами, называется шириной интерференционной полосы. Сейчас мы займёмся нахождением этой величины.

Пусть источники находятся на расстоянии друг от друга, а экран расположен на расстоянии от источников (рис. 7 ). Экран заменён осью ; начало отсчёта , как и выше, отвечает центральному максимуму.

O
Рис. 7. Вычисление координат максимумов

 

Точки и служат проекциями точек и на ось и расположены симметрично относительно точки . Имеем: .

Точка наблюдения может находиться на оси (на экране) где угодно. Координату точки
мы обозначим . Нас интересует, при каких значениях в точке будет наблюдаться интерференционный максимум.

Волна, излучённая источником , проходит расстояние:

. (3)

Теперь вспомним, что расстояние между источниками много меньше расстояния от источников до экрана: . Кроме того, в подобных интерференционных опытах координата точки наблюдения также гораздо меньше . Это означает, что второе слагаемое под корнем в выражении (3) много меньше единицы:

.

Раз так, можно использовать приближённую формулу:

(4)

Применяя её к выражению (4), получим:

(5)

Точно так же вычисляем расстояние, которое проходит волна от источника до точки наблюдения:

. (6)

Применяя к выражению (6) приближённую формулу (4), получаем:

. (7)

Вычитая выражения (7) и (5), находим разность хода:

. (8)

Пусть - длина волны, излучаемой источниками. Согласно условию (1), в точке будет наблюдаться интерференционный максимум, если разность хода равна целому числу длин волн:

Отсюда получаем координаты максимумов в верхней части экрана (в нижней части максимумы идут симметрично):

При получаем, разумеется, (центральный максимум). Первый максимум рядом с центральным соответствует значению и имеет координату .Такой же будет и ширина интерференционной полосы:

.

 

Помехи от двух источников - IB Physics Stuff

10.3.1 Объясните с помощью принципа суперпозиции интерференционную картину, создаваемую волнами от двух когерентных точечных источников.

Когерентные источники: означает, что разность фаз между двумя источниками не изменяется со временем. т.е. если они начинаются в фазе, они всегда будут в фазе.

Когда два когерентных точечных источника создают помехи, они создают картину интерференции, подобную показанной ниже:

Темные линии - это области, где две волны разрушительно интерферируют, между темными точками - области максимальной амплитуды, где волны конструктивно интерферируют.Когда обе волны прошли целое число длин волн, они конструктивно интерферируют (при условии, что источники находятся в фазе). Если обе волны прошли целое число плюс половину длины волны, они интерферируют деструктивно.

Условия вмешательства:

Конструктивно: $ \ text {Path Difference} = n \ lambda $

Разрушительное: $ \ text {Разница путей} = (n + \ frac {1} {2}) \ lambda $

10.3.2 Укажите условия, необходимые для наблюдения помех между двумя источниками света.

10.3.3 Обрисовать в общих чертах эксперимент Юнга с двойной щелью для света и нарисовать распределение интенсивности наблюдаемого рисунка полос.

В 1804 году Томас Янг провел первый убедительный эксперимент, чтобы доказать, что свет дифрагирует. Эскиз этого аппарата показан ниже:

В качестве источника он использовал солнечный свет, который проходил через фильтр, поэтому он был монохроматическим (одноцветным), затем свет проходил через линзу, предназначенную для создания параллельных волновых фронтов (это требовалось для демонстрации дифракции).Затем свет проходил через одинарную щель, а затем через двойную щель. Если бы свет не рассеивался, экран был бы полностью темным. Вместо темного цвета была обнаружена дифракционная картина, показанная ниже:

В качестве примечания: этот эксперимент был очень убедительным доказательством того, что свет был волной, в конце концов, как частицы могут дифрагментировать и интерферировать? Они это делают, и это немного странно.

Так как же нам предсказать, где появятся светлые и темные полосы? Геометрия ситуации определяет, где появятся полосы.

В эксперименте Юнга расстояние между илами d очень мало по сравнению с расстоянием между илами и экраном в точке P. Поэтому мы можем рассматривать линии $ \ overline {S_1P} $ и $ \ overline {S_2P} $ как параллельно. Линия $ \ overline {S_1Z} $ нарисована так, что $ \ overline {S_1P} $ и $ \ overline {ZP} $ имеют одинаковую длину. Это означает, что угол $ \ widehat {S_2S_1ZP} $ очень близок к θ. Таким образом, разница путей между двумя источниками составляет $ \ overline {S_2Z} $. Если разность хода представляет собой целое число длин волн, источники будут конструктивно интерферировать, и появится яркая полоса.Итак, условия для появления яркой бахромы:

(1)

\ begin {align} S_2 Z = n \ lambda \ end {align}

или переписав длину $ S_2 Z $ через d и $ \ theta $:

(2)

\ begin {align} d \ sin \ theta = n \ lambda \ end {align}

Это последнее уравнение приведено в книге формул IB.

Теперь посмотрим на расстояние между полосами. Из рисунка ниже мы можем констатировать:

(3)

\ begin {align} \ tan \ theta = \ frac {y_n} {D} \ end {align}

Где $ y_n $ - расстояние от центральной точки до n-й яркой полосы, а D - расстояние между экраном и прорезями.

Так как θ мало, мы можем сделать приближение $ \ sin \ theta = \ tan \ theta $, поэтому мы можем подставить в наше предыдущее уравнение (2) и получить:

(4)

\ begin {align} d \ frac {y_n} {D} = n \ lambda \ end {align}

Решение для $ y_n $:

(5)

\ begin {align} y_n = \ frac {n \ lambda D} {d} \ end {align}

Теперь посмотрим на:

(6)

\ begin {align} \ Delta y = y_ {n + 1} - y_n \ end {align}

(7)

\ begin {align} \ Delta y = \ frac {\ lambda D} {d} \ end {align}

Или в обозначении IB:

(8)

\ begin {align} s = \ frac {\ lambda D} {d} \ end {align}

Эта последняя формула есть в справочнике IB и дает расстояние между двумя последовательными полосами.

Красивое видео, показывающее эксперимент с двойной щелью


Хотите добавить или прокомментировать эти заметки? Сделайте это ниже.

.

PPT - Презентация PowerPoint с двухточечным источником помех, бесплатная загрузка

  • Двухточечный источник помех Математический анализ

  • Двухточечный образец помех

  • Узловые линии • Узлы являются областями разрушения интерференция и пучности противоположны (конструктивно) • В стоячих волнах узлы - это частицы, которые кажутся неподвижными • Узловые линии возникают в областях деструктивной интерференции (гребень + впадина или впадина + гребень) • Узловые линии при световой интерференции будут темными • Антинодальная линия появляется в центре интерференционной картины, когда две частоты источников совпадают) • «Количество» узловых и антинодальных линий увеличивается по мере удаления от центральной антиузловой линии

  • Точка A, на антинодальной линии 1 PD = | S1A - S2A | = | 5 - 6 | = 1

  • Точка B, на антинодальной линии 1 PD = | S1B - S2B | = | 3 - 4 | = 1

  • Точка C, на антинодальной линии 2 PD = | S1C - S2C | = | 4 - 6 | = 2

  • Немного изменив обозначение • Смотрите только на узловые линии • Помните, что номера узловых линий увеличиваются по мере удаления от центра • Первая узловая линия находится справа от правой биссектрисы линии, соединяющей линию источники • Вместо A, B, C и т. д., мы назовем общую точку P и будем использовать индекс для обозначения узловой линии, на которой она находится

  • Точка D на узловой линии 1 PD = | P1S1 - P1S2 | = | 5–4,5 | = 0,5

  • Точка E, на узловой линии 2 PD = | P2S1– P2S2 | = | 3.5–5 | = 1,5

  • Если вы сделаете это какое-то время…

  • Синий: Узловые линии Красный: Антинодальные линии

  • Общая взаимосвязь • Обратите внимание, что это только для узловых линий (деструктивная интерференция ) • Антинодальные линии будут иметь (n-1) вместо PD = | PnS1 - PnS2 | = (п-0.5) l

  • Разница в пути для удаленных точек

  • Немного геометрии…

  • Анализ узловой линии • Где q - угол для n-й узловой линии от основной узловой линии (правая биссектриса) • l - длина волны • d - расстояние между источниками

  • Граничные условия • qn не может быть больше 1, RHS не может быть больше 1 • Наибольшее n, которое удовлетворяет этому условию, будет видно в картина интерференции - сосчитайте! • Измеряя d и считая узловые линии, мы можем приблизительно определить l

  • Какой угол измеряет q?

  • Обратите внимание на значение каждой переменной , используя диаграмму справа.

  • Пример 1 • Два точечных источника генерируют идентичные волны, которые интерферируют в резервуаре пульсации. Источники расположены на расстоянии 5,0 см друг от друга, частота волн 8,0 Гц. Точка на первой узловой линии расположена в 10 см от одного источника и 11 см от другого. • Какая длина волны? • [2,0 см / с] • Какова скорость волн? • [16 см / с]

  • Пример 2 • Эксперимент с резервуаром пульсации дал следующие данные из двух точечных источников, работающих в фазе: n = 3, x3 = 35 см, L = 77, d = 6.0 см, q3 = 25 °, 5 гребней = 4,2 см. Используя 3 метода, определите длину волны.

  • .

    Оставить комментарий

    avatar
      Подписаться  
    Уведомление о