Радиус описанной окружности правильного многоугольника – Радиус описанной окружности правильного многоугольника | Формулы и расчеты онлайн

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике - Планиметрия

      Фигуру называют выпуклой, если для любых двух точек этой фигуры соединяющий их отрезок полностью принадлежит фигуре.

      Правильными многоугольниками называют выпуклые многоугольники, у которых все углы равны и все стороны равны.

      Замечание 1. В любой правильный многоугольник можно вписать окружность.

      Замечание 2. Около любого правильного многоугольника можно описать окружность.

      Замечание 3. Центры вписанной в правильный многоугольник окружности и описанной около правильного многоугольника окружности совпадают. Эту точку называют центром правильного многоугольника.

      Используемые обозначения

Число вершин правильного многоугольникаСторона правильного многоугольникаРадиус вписанной окружностиРадиус описанной окружностиПериметрПлощадь
narRPS
Число вершин правильного многоугольника  n  
Сторона правильного многоугольника  a  
Радиус вписанной окружности  r  
Радиус описанной окружности  R  
Периметр  P  
Площадь  S  

Формулы для стороны, периметра и площади правильного n – угольника

Формулы для периметра правильного n – угольника

Выражение периметра через сторону

P = an

Выражение периметра через радиус вписанной окружности

Выражение периметра через радиус описанной окружности

Формулы для площади правильного n – угольника

Выражение площади через сторону и радиус вписанной окружности

Выражение площади через сторону

Выражение площади через радиус вписанной окружности

Выражение площади через радиус описанной окружности

Формулы для стороны правильного n – угольника

Выражение стороны через радиус вписанной окружности

Выражение стороны через радиус описанной окружности

Формулы для стороны, периметра и площади правильного треугольника

Формулы для периметра правильного треугольника

Выражение периметра через сторону

P = 3a

Выражение периметра через радиус вписанной окружности

Выражение периметра через радиус описанной окружности

Формулы для площади правильного треугольника

Выражение площади через сторону

Посмотреть вывод формулы

Выражение площади через сторону и радиус вписанной окружности

Выражение площади через радиус вписанной окружности

Посмотреть вывод формулы

Выражение площади через радиус описанной окружности

Посмотреть вывод формулы

Формулы для стороны правильного треугольника

Выражение стороны через радиус вписанной окружности

Выражение стороны через радиус описанной окружности

Формулы для стороны, периметра и площади правильного шестиугольника

Формулы для периметра правильного шестиугольника

Выражение периметра через сторону

P = 6a

Выражение периметра через радиус вписанной окружности

Выражение периметра через радиус описанной окружности

P = 6R

Формулы для площади правильного шестиугольника

Выражение площади через сторон

Выражение площади через сторону и радиус вписанной окружности

S = 3ar

Выражение площади через радиус вписанной окружности

Выражение площади через радиус описанной окружности

Формулы для стороны правильного шестиугольника

Выражение стороны через радиус вписанной окружности

Выражение стороны через радиус описанной окружности

a = R

Формулы для стороны, периметра и площади квадрата

Формулы для периметра квадрата

Выражение периметра через сторону

P = 4a

Выражение периметра через радиус вписанной окружности

P = 8r

Выражение периметра через радиус описанной окружности

Формулы для площади квадрата

Выражение площади через сторону

S = a2

Выражение площади через радиус вписанной окружности

S = 4r2

Выражение площади через радиус описанной окружности

S = 2R2

Формулы для стороны квадрата

Выражение стороны через радиус вписанной окружности

a = 2r

Выражение стороны через радиус описанной окружности

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

www.resolventa.ru

Правильные многоугольники. Радиус вписанной и описанной окружности

Для того, чтобы научиться решать  задачи из задания В6 на нахождение радиуса  окружности, вписанной в правильный многоугольник, или описанной около него, не нужно запоминать большое количество формул.  Нужно только вспомнить, как соотносятся стороны и углы в прямоугольном треугольнике. 

И применить эти знания в немного другой ситуации.

Окружность называется описанной около многоугольника, если она проходит через все его вершины. Центр описанной окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам многоугольника.

Окружность называется вписанной в многоугольник, если она касается всех сторон многоугольника. Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис углов многоугольника.

В правильном многоугольнике центр вписанной и описанной окружности совпадают.

Посмотрим, как соотносятся между собой радиусы вписанной и описанной окружности и сторона правильного многоугольника. Рассмотрим фрагмент правильного многоугольника:

Здесь

АВ - сторона правильного треугольника

ОК - радиус вписанной окружности

ОВ, ОА - радиусы описанной окружности

Очевидно, что треугольник АОВ - равнобедренный, поэтому ОК является высотой, биссектрисой и медианой.

Рассмотрим треугольник ОКВ. С его помощью мы найдем, как соотносятся между собой сторона правильного многоугольника, радиус вписанной и описанной окружности.

Угол AOB= , где n- количество сторон многоугольника. Тогда угол    - то есть его величину мы знаем всегда.

Мы видим, что:

радиус вписанной окружности  r -   является прилежащим катетом прямоугольного треугольника  ОКВ

половина стороны многоугольника а/2 является противолежащим катетом прямоугольного треугольника  ОКВ

радиус описанной окружности

R является гипотенузой  прямоугольного треугольника  ОКВ

Тогда:

Решим несколько задач из  Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ  по математике:

1. Задание B7 (№ 27944)

Около окружности, радиус которой равен , описан квадрат. Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.

Проведем радиусы вписанной и описанной окружности и рассмотрим наш "волшебный" прямоугольный треугольник:

По условию , надо найти 

Тогда 

Ответ: 4

2. Задание B7 (№ 27929)

Периметр правильного шестиугольника равен 72. Найдите диаметр описанной окружности.

В этой задаче мы пойдем немного другим путем, и рассмотрим треугольник АОВ:

Угол АОВ=

Найдем сторону шестиугольника. Так как все стороны правильного шестиугольника равны, . Отсюда

Треугольник АОВ равнобедренный с углом , а, значит, равносторонний. Следовательно, и  

Ответ: 24.

Запомните: в правильном шестиугольнике сторона равна радиусу описанной окружности.

3. Задание B7 (№ 27917)

Найдите радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник со стороной .

Рассмотрим треугольник ВОК:

Ответ: 1,5

4. Задание B7 (№ 27909)

Сторона правильного треугольника равна . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Рассмотрим треугольник ВОК:

Ответ: 0,5

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Купить видеокурс "ВСЯ ГЕОМЕТРИЯ. Часть В"

 

ege-ok.ru

Все формулы для радиуса описанной окружности

Все формулы для радиуса описанной окружности

 

 ,  ,     -  стороны треугольника

  - полупериметр

  - центр окружности

 

Формула радиуса описанной окружности треугольника ( R  ) :

 

 

 

- сторона треугольника

- высота

- радиус описанной окружности

 

 

Формула радиуса описанной окружности равностороннего треугольника через его сторону:

 

Формула радиуса описанной окружности равностороннего треугольника через высоту:

 

 

Зная стороны равнобедренного треугольника, можно по формуле, найти, радиус описанной окружности около этого треугольника.

 

a, b - стороны треугольника

 

 

 

Формула радиуса описанной окружности равнобедренного треугольника(R):

 

 

 

Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника равен половине его гипотенузы.

 

a, b - катеты прямоугольного треугольника

c - гипотенуза

 

 

 

Формула радиуса описанной окружности прямоугольного треугольника (R):

 

 

 

 

a - боковые стороны трапеции

c - нижнее основание

b - верхнее основание

d - диагональ

p - полупериметр треугольника DBC

p = (a+d+c)/2

 

Формула радиуса описанной окружности равнобокой трапеции, (R)

 

 

Радиус описанной окружности квадрата равен половине его диагонали

 

 

a - сторона квадрата

d - диагональ

 

 

Формула радиуса описанной окружности квадрата (R):

 

 

 

 

Радиус описанной окружности прямоугольника равен половине его диагонали

 

 

a, b - стороны прямоугольника

d - диагональ

 

 

 

Формула радиуса описанной окружности прямоугольника (R):

 

 

 

 

 

a - сторона многоугольника

N - количество сторон многоугольника

 

 

 

Формула радиуса описанной окружности правильного многоугольника, (R):

 

 

 

 

 

 

a - сторона шестиугольника

d - диагональ шестиугольника

 

 

 

Радиус описанной окружности правильного шестиугольника (R):

 

Радиус описанной окружности











Наверх

© 2011-2019   Все права защищены.

При использовании материалов данного сайта обязательно указывать ссылку на источник.

www-formula.ru

Онлайн калькулятор: Длина стороны правильного многоугольника

От нашего нового пользователя поступил вот такой запрос:
«Калькулятор должен вычислять длину стороны правильного многоугольника (шестиугольник, пятигольник) по указанному диаметру (или радиусу) описанной окружности».

Удовлетворяем запрос оперативно. Заметим, что для решения задачи нужно найти длину третьей стороны треугольника, исходящего из центра описанной окружности и опирающегося на две соседние вершины правильного многоугольника. Про этот треугольник известно многое: длины двух сторон — это радиусы описанной окружности, и угол, как нетрудно заметить, — это 360, деленное на число вершин правильного многоугольника. Далее используется соотношение из теоремы синусов — две стороны относятся друг к другу также как и синусы противолежащих им углов. Поскольку треугольник равнобедренный и сумма углов в треугольнике равна 180 градусам, угол, противолежащий радиусу вычисляется тривиально. Результат — ниже.

Определение длины стороны правильного многоугольника по радиусу описанной окружности

Число сторон правильного многоугольника

Точность вычисления

Знаков после запятой: 2

Длина стороны правильного многоугольника

 

save Сохранить share Поделиться extension Виджет

P.S. В комментариях некто Александр поинтересовался, а как же найти длину стороны по радиусу вписанной окружности?

Отвечаю — с вписанной окружностью все гораздо проще. Надо рассмотреть треугольник, образованный перпендикуляром к точке касания окружности и многоугольника, половиной стороны многоугольника и линией от центра окружности до ближайшей к перпендикуляру вершины многоугольника. Этот треугольник перпендикулярный, и острый угол его равен 360, деленное на число вершин правильного многоугольника и еще пополам. Половина длины стороны находится легко — это радиус (прилежащий катет), умноженный на тангенс острого угла. Домножаем затем на два — получаем искомую длину стороны. Результат — ниже.

Определение длины стороны правильного многоугольника по радиусу вписанной окружности

Число сторон правильного многоугольника

Точность вычисления

Знаков после запятой: 2

Длина стороны правильного многоугольника

 

save Сохранить share Поделиться extension Виджет

planetcalc.ru

Правильный многоугольник. Описанная и вписанная окружность

На самом деле у меня уже были сделаны калькуляторы для правильных многоугольников — Длина стороны правильного многоугольника. Один из первых запросов пользователей, между прочим. Эти калькуляторы находили параметры правильного многоугольника, исходя из величины радиуса описанной или вписанной в него окружности.

Калькуляторы ниже решают обратную задачу — исходя из параметров многоугольника, находят параметры вписанной и описанной окружностей.
Радиус вписанной окружности (incircle):

Площадь правильного многоугольника:

Радиус описанной окружности (circumcircle):

Площадь правильного многоугольника:

Правильный многоугольник. Вписанная окружность
Точность вычисления

Знаков после запятой: 2

Радиус вписанной окружности

 

Площадь вписанной окружности

 

Площадь правильного многоугольника

 

Отношение площадей

 

save Сохранить share Поделиться extension Виджет

Правильный многоугольник. Описанная окружность
Точность вычисления

Знаков после запятой: 2

Радиус описанной окружности

 

Площадь описанной окружности

 

Площадь правильного многоугольника

 

Отношение площадей

 

save Сохранить share Поделиться extension Виджет

planetcalc.ru

Правильные многоугольники и окружность описанная и

Правильные многоугольники и окружность. Здравствуйте, Дорогие друзья! Во многих задачах в курсе геометрии, в том числе и в составе ЕГЭ имеется много заданий связанных с понятием окружности вписанной в правильный многоугольник и описанной около него. Если конкретней, то в данном случае мы рассмотрим правильный треугольник, также квадрат и правильный шестиугольник. Именно с этими правильными многоугольниками связаны условия заданий на экзамене. Обычно в ходе решения таких задач возникает необходимость выразить:

1. Сторону правильного треугольника через радиус вписанной или описанной окружности.

2. Сторону квадрата через радиус вписанной окружности или  описанной окружности.

3. Сторону правильного шестиугольника через радиус вписанной или описанной окружности.

4. Радиус вписанной в правильный многоугольник окружности через радиус описанной около него окружности и наоборот.

На сайте рассмотрены (и в будущем будут рассматриваться) задачи, в которых эти формулы используются. При решении подробно не описывается как они выводятся. Просто говорится, например, что сторона правильного треугольника соотносится с радиусом вписанной в него окружности как:

У многих возникают вопросы по этому поводу: Как? Почему? В этой статье мы выведем все указанные соотношения и в будущем  при решении задач, если потребуется, просто буду давать ссылку на эту статью.

Что нужно всегда помнить и понимать?

Центр правильного многоугольника совпадает с центром вписанной о описанной около него окружности. Итак, приступим!

Правильный треугольник, вписанная и описанная окружность.

Пусть а – это его сторона, радиус описанной окружности равен R, а радиус вписанной окружности равен r.

Стороны правильного треугольника и вписанная в него окружность имеют общие точки (точки касания), эти точки делят стороны треугольника пополам. Радиус описанной окружности, проведённый к вершине треугольника является биссектрисой, то есть делит угол при этой вершине, равный 60 градусам, пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник (выделен жёлтым). По определению тангенса: Получаем, что: По определению косинуса: Получаем, что: Можем записать соотношение радиусов:

Квадрат, вписанная и описанная около него окружность.

Пусть а – это сторона квадрата, радиус описанной окружности равен R, а радиус вписанной окружности равен r.

Стороны квадрата и вписанная в него окружность имеют общие точки (точки касания), эти точки делят стороны квадрата пополам.

Радиус описанной окружности, проведённый к вершине квадрата является биссектрисой, то есть делит угол квадрата пополам.

Рассмотрим прямоугольный треугольник (выделен жёлтым). На основании вышеизложенного можно сделать вывод о том, что:

По определению косинуса: Получаем, что: *Можно было воспользоваться также теоремой Пифагора. Запишем соотношение радиусов:

Правильный шестиугольник. Вписанная и описанная окружность.

Стороны правильного шестиугольника и вписанная окружность имеют общие точки (точки касания), эти точки делят стороны данного шестиугольника пополам.

Радиус описанной окружности, проведённый к вершине шестиугольника является биссектрисой, то есть делит угол правильного шестиугольника равный 120 градусам пополам. Подробнее о правильном шестиугольнике и описанной около него окружности можете посмотреть информацию в этой статье.

Рассмотрим прямоугольный треугольник (выделен жёлтым). По определению тангенса: Получаем, что:

Тот факт, что сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной окружности известен практически всем школьникам изучившим соответствующий материал по планиметрии:

Если интересно посмотрите как это можно вывести. По определению косинуса в прямоугольном треугольнике: Получаем, что: Можем записать соотношение радиусов: Вот и всё.

Конечно же, учить и запоминать данные формулы не нужно. В ходе решения вы всегда сможете их также вывести используя свойства правильных многоугольников, определения тангенса и косинуса, теорему Пифагора.

Я решил изложить это в отдельной статье только для того, чтобы у вас не возникали вопросы при решении и изучении соответствующих заданий на блоге и вы всегда могли бы посмотреть откуда взялась формула. Везде, где потребуется данная информация я буду размещать ссылку на эту статью.

Получить материал статьи в формате PDF

Успеха Вам!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

matematikalegko.ru

Формулы радиусов вписанных и описанных окружностей правильных многоугольников

Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиусов описанной и вписанной окружности.

  • Чтобы спорилось нужное дело,
  • Чтобы в жизни не знать неудач,
  • В математики мир отправимся смело,
  • В мир примеров и разных задач.

ДЕВИЗ УРОКА

Думать - коллективно!

Решать - оперативно!

Отвечать - доказательно!

Бороться - старательно!

И открытия нас ждут обязательно!

Сегодня на уроке мы узнаем и увидим много нового и интересного: вспомним понятие правильного многоугольника, выведем формулы, связывающие площадь и сторону правильного многоугольника с радиуса вписанной окружности. Мне хотелось бы начать со слов Бертрана Рассела: “Математика владеет не только истиной, но и высшей красотой…”.

Повторение.

  • Какая геометрическая фигура

изображена на рисунке?

D

Е

2.Какой многоугольник называется

правильным?

О

3.Какая окружность называется

вписанной в многоугольник?

F

С

4.Какая окружность называется

описанной около многоугольника?

5.Назовите радиус вписанной окружности.

А

В

Н

6.Назовите радиус описанной окружности.

7.Как найти центр вписанной в правильный

многоугольник окружности?

8.Как найти центр окружности описанной около

правильного многоугольника?

Проверка выполнения

домашнего задания ..

1084.

β – угол, соответствующий

дуге, которую стягивает

сторона многоугольника .

О

А п

А 2

β

Ответы:

а) 6;

б) 12;

А

А 1

в) 4;

г) 8;

г) 10

д) 20;

?

е) 7.

е) 5.

ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ

ПРАВИЛЬНЫЙ МНОГОУГОЛЬНИК

Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все углы равны и все стороны равны.

Сумма углов правильного n -угольника

Угол правильного n - угольника

Вписанная и описанная окружность

Окружность называется вписанной в многоугольник,

если все стороны многоугольника касаются этой окружности.

Окружность называется описанной около многоугольника, если все его вершины лежат на этой

окружности.

Вписанная и описанная окружность

Окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается сторон многоугольника в их серединах.

Центр окружности, описанной около правильного многоугольника, совпадает с центром окружности, вписанной в тот же многоугольник.

Выведем формулу радиуса вписанной и радиуса описанной окружности правильного многоугольника.

Пусть r – радиус вписанной окружности,

R – радиус описанной окружности,

п – количество сторон и углов многоугольника.

В

Рассмотрим правильный п-угольник.

а / 2

А

С

Пусть а – сторона п-угольника,

а

α – угол.

α /2

α /2

Построим точку О – центр вписанной и описанной окружности.

β

ОС – высота ∆АОВ.

.

∟ С = 90 º - (по построению),

Рассмотрим ∆АОС:

О

∟ ОАС = α /2 - (ОА – биссектриса угла п- угольника),

АС = а/2 – (ОС – медиана к основанию равнобедренного треугольника),

∟ АОВ = 360 º : п,

пусть ∟АОС = β .

тогда β = 0,5 ∙ ∟АОВ

= 0,5 ∙ ( 360 º : п)

= 180 º : п .

АС

а

а

АС

=

=

=

R = ОА

=

2 sin (180 º : п)

sin β

r = ОС

2 tg (180 º : п)

tg β

ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ

Площадь правильного многоугольника

Сторона правильного многоугольника

Радиус вписанной окружности

Группа 1 Дано: R , n =3 Найти: а

Группа 2 Дано: R , n =4 Найти: а

Группа 3 Дано: R , n =6 Найти: а

Группа 4 Дано: r , n =3 Найти: а

Группа 5 Дано: r , n = 4 Найти: а

Группа 6 Дано: r , n = 6 Найти: а

Группа 1 Дано: R , n =3 Найти: а

Группа 2 Дано: R , n =4 Найти: а

Группа 3 Дано: R , n =6 Найти: а

Группа 4 Дано: r , n =3 Найти: а

Группа 5 Дано: r , n = 4 Найти: а

Группа 6 Дано: r , n = 6 Найти: а

п = 3

п = 4

п = 6

ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ

а

а

R =

r =

2 tg (180 º : п)

2 sin (180 º : п)

= 60 º ,

= 180 º : 3

тогда 180 º : п

У правильного треугольника п = 3,

а

√ 3

2 ∙

=

√ 3,

R 3 =

откуда 2 sin 60 º =

значит

2

√ 3

а

значит

2 ∙ √3

2 tg 60 º =

r 3 =

2 √3

тогда 180 º : п

= 180 º : 4

= 45 º ,

У правильного четырехугольника п = 4,

а

√ 2

=

R 4

=

значит

√ 2,

откуда 2 sin 45 º =

2 ∙

2

√ 2

а

2 ∙ 1 = 2,

значит

2 tg 45 º =

r 4 =

2

У правильного шестиугольника п = 6,

тогда 180 º : п

= 180 º : 6

= 30 º ,

1

откуда 2 sin 30 º =

1,

2 ∙

=

значит

R 6 = а

2

1

2 tg 30 º =

2 ∙

2

а√3

значит

r 4 =

а :

=

√ 3

2

√ 3

21

Используя формулы радиусов вписанных и описанных окружностей некоторых правильных многоугольников, вывести формулы для нахождения зависимости сторон правильных многоугольников от радиусов вписанных и описанных окружностей и заполнить таблицу:

а 6

а 4

а 3

ап

2 R ∙ sin (180 º : п)

R √3

R √ 2

R

Через R

2r

Через r

2 r ∙ tg (180 º : п)

2 r √3

2r

√ 3

ф

и

г

у

квадрат

треугольник

р

шестиугольник

а

r

R ,

а

а

а

R

√ 3

√ 2

а

а

а√3

r

2

2

2 √3

Домашнее задание:

Пп. 105 – 108;

1087;

1088 – подготовить таблицу.

n = 4

R

r

a 4

P

2

6

4

S

28

16

3

3√2

24

32

2√2

4

16

16

16√2

32

4√2

2√2

7

3,5√2

3,5

49

4

2√2

16

2

1087(5)

Дано: S=16 , n =4

Найти: a, r, R, P

Мы знаем формулы:

1088( 5 )

Дано: P=6 , n = 3

Найти: R, a, r, S

Мы знаем формулы:

108 9

Дано:

Найти:

Подведем итог

Мы знаем формулы:

Домашнее задание

  • п.105-108 повторить;
  • выучить формулы;
  • 1090, 1091, 1087(3)

multiurok.ru

0 comments on “Радиус описанной окружности правильного многоугольника – Радиус описанной окружности правильного многоугольника | Формулы и расчеты онлайн

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *